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Rappresentazione quantistica mista dello schema di reclutamento motorio nell’EMG

Il segnale elettromiografico (EMG) di superficie dei muscoli masseteri può essere interpretato come la **proiezione (o misura)** di uno **stato misto** definito su uno spazio di Hilbert finito, i cui vettori di base rappresentano le diverse configurazioni di reclutamento delle unità motorie.

Il tracciato d’interferenza visibile nell’EMG può essere così descritto come il risultato della **sovrapposizione vettoriale** e delle **relazioni di fase** tra questi stati elementari, in modo analogo alle strutture d’interferenza osservate in un sistema quantistico.

1. Spazio degli stati e vettori base

Sia $ℋ$ uno spazio di Hilbert complesso generato da un insieme di vettori di base che rappresentano i modelli di reclutamento motorio:

$ℋ = s p a n {| e_{1} ⟩, | e_{2} ⟩, \dots, | e_{d} ⟩}$

Ogni vettore $|e_k\rangle$ corrisponde a un pattern fisiologicamente significativo (unità motorie a bassa soglia, ad alta soglia, co-attivazioni sinergiche, ecc.).

2. Stati puri e stati misti

Uno **stato puro** è un vettore unitario $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$, descritto dall’operatore di densità:

$ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |$

Uno **stato misto** è invece una combinazione convessa di stati puri:

$ρ = \sum_{j = 1}^{m} p_{j} | ψ_{j} ⟩ ⟨ ψ_{j} |, p_{j} \geq 0, \sum_{j} p_{j} = 1$

Dal punto di vista fisiologico, $\rho$ rappresenta la **variabilità stocastica** e la **micro-eterogeneità** del reclutamento motorio nel tempo (fatica, input riflessi, rumore di fondo).

3. Osservabili: dominio del tempo e delle frequenze

Il segnale EMG misurato nel tempo $t$ può essere espresso come valore atteso di un operatore osservabile $A(t)$:

$x (t) = Tr [ρ A (t)]$

Analogamente, la potenza spettrale in una banda di frequenza $B$ si scrive:

$P (B) = Tr [ρ S (B)]$

dove $S(B)$ rappresenta un operatore positivo che aggrega il contributo dei modi di reclutamento nella banda $B$.

4. Struttura di interferenza

Scrivendo uno stato puro come $|\psi\rangle = \sum_k c_k |e_k\rangle$, si ha:

$x_{ψ} (t) = ⟨ ψ | A (t) | ψ ⟩ = \sum_{k, ℓ} c_{k} \overline{c_{ℓ}} ⟨ e_{ℓ} | A (t) | e_{k} ⟩$

I termini diagonali ($k=\ell$) rappresentano la **potenza dei modi**, mentre quelli fuori diagonale ($k\neq \ell$) descrivono le **coerenze di fase** o “interferenze”. Per uno stato misto, tali contributi sono pesati dalle probabilità $p_j$ dei singoli stati $|\psi_j\rangle$.

5. Modellazione bilaterale (masseteri sinistro e destro)

Per rappresentare la sinergia bilaterale si usa un sistema bipartito:

$ℋ = ℋ_{L} \otimes ℋ_{R}, ρ \in 𝒮 (ℋ_{L} \otimes ℋ_{R})$

I segnali $x_L(t)$ e $x_R(t)$ corrispondono rispettivamente alle aspettative di $A_L(t)\otimes I$ e $I\otimes A_R(t)$. La correlazione sincrona tra i due lati (co-contrazione) è modellata da:

$Γ (t) = Tr [ρ (A_{L} (t) \otimes A_{R} (t))]$

Il termine “quantistico” va inteso **in senso analogico e matematico**, non come fenomeno fisico di entanglement.

6. Collegamento con la trasformata di Fourier

Definendo la trasformata di Fourier del segnale temporale:

$X (f) = \int x (t) e^{- i 2 π f t} d t$

si ottiene:

$X (f) = Tr [ρ \tilde{A} (f)]$

con $\widetilde{A}(f)$ operatore di frequenza. La potenza di banda risulta:

$P (B) = \int_{B} | X (f) |^{2} d f = Tr [ρ S (B)]$

7. Esempio di stato misto a tre modi

Sia $|e_1\rangle, |e_2\rangle, |e_3\rangle$ la base di tre modalità di reclutamento (lento, intermedio, rapido). Uno stato misto semplice è:

$ρ = p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |, | ψ_{1} ⟩ = α | e_{1} ⟩ + β | e_{2} ⟩, | ψ_{2} ⟩ = γ | e_{2} ⟩ + δ | e_{3} ⟩$

con $p_1+p_2=1$. Le componenti fuori diagonale $\langle e_\ell|A(t)|e_k\rangle$ producono l’effetto d’interferenza osservabile nel tracciato EMG e nei picchi dello spettro $X(f)$.

8. Significato clinico-analitico

**Occupanze** ($\pi_k = \operatorname{Tr}[\rho |e_k\rangle\langle e_k|]$): rappresentano la prevalenza relativa dei diversi schemi di reclutamento (es. fatica o iperattività).
**Coerenze** ($\rho_{k\ell},\ k\neq \ell$): esprimono la stabilità o la sincronia dei pattern coordinati (es. tremori, oscillazioni ritmiche).
**Asimmetrie** ($\rho_L$ vs $\rho_R$): differenze tra i due lati dei masseteri, utili a identificare squilibri funzionali.
**Marcatori spettrali**: i picchi nel dominio di frequenza rappresentano la manifestazione macroscopica delle coerenze vettoriali nello spazio di stato.

9. Limitazioni del modello

Il modello “quantum-like” è **puramente matematico** e non implica fenomeni quantistici fisici nei tessuti biologici. L’analisi EMG fornisce informazioni periferiche sul reclutamento muscolare e **non** permette diagnosi dirette di patologie cerebrali.

10. Sintesi per il progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative

L’approccio propone di rappresentare i pattern di reclutamento motorio come vettori in uno spazio di Hilbert finito. Il segnale EMG è descritto come la media (traccia) di osservabili temporali e spettrali rispetto a uno stato misto $\rho$:

$x (t) = T r [ρ A (t)], X (f) = T r [ρ \tilde{A} (f)]$

Le componenti diagonali di $\rho$ rappresentano la distribuzione dei modi di reclutamento, mentre quelle fuori diagonale descrivono la coerenza dinamica. La modellazione bilaterale consente di studiare la coordinazione sinistra-destra dei masseteri attraverso osservabili di correlazione, aprendo nuove prospettive diagnostiche nel dolore orofacciale e nella neurognatologia evocata.