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Introduction to Wellcome Masticationpedia project

Dalla medicina deterministica alla logica indeterministica del modello quantum-like

La riflessione che segue rappresenta il nucleo filosofico e matematico del progetto Masticationpedia Paradigm Initiative. I modelli deterministici classici — basati su ragionamenti statistici commutativi e indipendenti dal tempo — non sono più adeguati a descrivere il comportamento reale dei sistemi biologici e neurologici.

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🧭 1. Il problema classico (deterministico)

Nella scienza classica, e nella maggior parte della diagnostica medica moderna, il ragionamento si fonda su una statistica deterministica:

$f(A,B)=f(B,A)$

Ciò significa che l’ordine delle variabili non influisce sul risultato (modello commutativo): misurare la variabile A prima della variabile B o viceversa produce lo stesso esito.

Questa ipotesi funziona nei sistemi fisici **chiusi** e **stabili** — come la misura di temperatura e pressione di un gas — ma non nei **sistemi viventi**, dove il tempo, l’adattamento e i circuiti di retroazione modificano costantemente lo stato interno.

In medicina, tra la variabile A (ad esempio la “contrazione muscolare”) e la variabile B (“comando nervoso”) esiste sempre il **tempo**, e durante quell’intervallo il sistema evolve.

Pertanto:

$f(A,B)\ne f(B,A)$

Il processo è **non commutativo**: l’ordine conta, perché la misura di una variabile modifica le condizioni della successiva.

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⚙️ 2. La conseguenza epistemologica

Ecco perché le statistiche classiche (media, varianza, correlazione) spesso falliscono in diagnostica: presuppongono che il sistema sia statico e “attenda” la nostra misurazione.

Ma un sistema neuromuscolare **non attende**: reagisce, si adatta, fluttua e manifesta risposte **dipendenti dal contesto**. La realtà che descriviamo non è dunque deterministica, bensì **contestuale e indeterministica-like** — non casuale, ma strutturalmente indeterminata.

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🧠 3. Perché il formalismo quantum-like è adatto

La matematica quantistica è nata proprio per descrivere sistemi in cui **misura, ordine e contesto** influenzano i risultati. Essa introduce:

• **Non commutatività:**

$AB\ne BA$ → la sequenza delle operazioni modifica l’esito.

• **Sovrapposizione di stati:**

il sistema può trovarsi in più configurazioni potenziali fino all’osservazione.

• **Evoluzione probabilistica:**

l’esito non segue una singola traiettoria, ma una distribuzione di possibilità descritta dall’operatore densità $\rho$.

In questo senso, “quantum-like” non significa “fisica quantistica nei tessuti biologici”, bensì l’uso della **stessa logica matematica** per modellare sistemi in cui:

• causa ed effetto non sono fissi,
• le interazioni sono contestuali,
• e l’ordine temporale influenza i risultati.

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🦷 4. Applicazione ai sistemi EMG

Nell’elettromiografia classica, i segnali vengono trattati come serie deterministiche di ampiezza, frequenza e correlazione. Tuttavia, nella realtà biologica, l’EMG di un muscolo vivente è un sistema **aperto e adattivo**: ogni contrazione modifica i flussi propriocettivi, il drive corticale, la fatica e le relazioni sinaptiche locali e bilaterali.

Nei muscoli masticatori, e in particolare nei **masseteri**, l’attività viene registrata **simultaneamente su entrambi i lati**. Ciò che evolve nel tempo non è la sequenza delle misurazioni, ma la **sequenza funzionale delle attivazioni**, ossia l’ordine con cui gli stati neuromotori si manifestano, interagiscono e si sovrappongono all’interno del sistema.

Questo introduce un comportamento **non commutativo nel dominio temporale**: l’attivazione di una determinata configurazione motoria modifica il contesto fisiologico in cui si manifesterà la successiva. In altre parole, la risposta del sistema a uno stimolo non è indipendente dal percorso precedente di attivazione.

Il formalismo *quantum-like* descrive questa dinamica attraverso l’equazione di evoluzione temporale:

$\rho (t+\mathrm{\Delta }t)=U(\mathrm{\Delta }t)\rho (t)U^{†}(\mathrm{\Delta }t)$

dove $U(\mathrm{\Delta }t)$ è l’**operatore di evoluzione nel tempo**, che codifica matematicamente:

• l’adattamento progressivo,
• la retroazione propriocettiva,
• e la risposta dinamica del sistema neuromotorio bilaterale.

In questo quadro, la simultaneità della misura EMG non elimina la complessità dinamica del sistema: essa rivela piuttosto un **processo temporale non lineare e non commutativo**, in cui gli stati funzionali si modificano reciprocamente mentre vengono osservati.

🌌 5. Sintesi filosofica

L’idea innovativa è passare da una **medicina descrittiva e deterministica** a una **medicina indeterministica-like**, nella quale salute e patologia non sono categorie fisse, ma **distribuzioni di probabilità funzionali**.

In questo nuovo quadro:

• la **diagnosi** diventa l’inferenza di coerenza e simmetria all’interno di uno stato probabilistico, non la rilevazione di un difetto isolato;
• la **patologia** è una **deformazione della struttura di probabilità**, non un evento binario;
• il **corpo del paziente** è un **campo dinamico di interazioni in evoluzione**, non un sistema meccanico statico.

Ecco perché la matematica *quantum-like* è necessaria: è l’unico linguaggio formale capace di descrivere dinamiche **non commutative, contestuali e indeterministiche-like**, che riflettono esattamente il comportamento dei sistemi biologici complessi.

Interpretazione della figura: spazio di Hilbert e valore medio osservabile

La figura illustra uno dei principi cardine del modello *quantum-like* sviluppato nel progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative:

il comportamento neuromuscolare non viene interpretato come una sequenza deterministica di eventi, ma come una **distribuzione di stati funzionali** all’interno di uno spazio di Hilbert multidimensionale.

In questo quadro teorico, ogni vettore rappresenta una possibile configurazione di reclutamento motorio, mentre la freccia blu ⟨A⟩ indica la **media statistica degli osservabili** ottenuta a partire dall’operatore densità $\rho$. La figura rende visibile un concetto chiave: > il segnale EMG che osserviamo clinicamente non è la fotografia di un evento unico, ma la sovrapposizione probabilistica di molteplici micro-stati.

Questa rappresentazione non mira a diagnosticare una lesione specifica, bensì a mostrare come la **coerenza funzionale** e la **simmetria bilaterale** emergano come proprietà statistiche globali del sistema, esattamente come in un modello di stato misto quantistico.

🔗 Coerenza come parametro funzionale nello stato misto

Definizione (coerenza classica tra due EMG)

La coerenza spettrale tra due segnali (es. EMG sinistro e destro) misura quanto le loro oscillazioni sono correlate in frequenza e fase (0 → nessuna relazione; 1 → sincronia perfetta). La definizione standard è: $C_{xy}(f)=\frac{{|P_{xy}(f)|}^2}{P_{xx}(f)P_{yy}(f)}$ dove $P_{xy}(f)$ è lo spettro incrociato (cross-spectrum) e $P_{xx}(f),P_{yy}(f)$ sono gli spettri di potenza dei due segnali.

Visione quantum-like (coerenza = termini fuori diagonale)

Nel modello a stato misto, lo stato funzionale è descritto dall’operatore densità: $\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|,\text{con}\mathrm{Tr}[\rho ]=1$ Le **coerenze** sono le componenti fuori diagonale di $\rho$ nella base dei modi di reclutamento $\{|e_k⟩\}$: ${\rho }_{k\ell }=⟨e_k|\rho |e_{\ell }⟩,k\ne \ell$ I termini diagonali (${\rho }_{kk}$) descrivono l’**occupanza** dei singoli modi; i termini fuori diagonale (${\rho }_{k\ell }$) la **coerenza funzionale** (interferenza/sincronia tra modi).

Collegamento con l’osservabile (tempo e frequenza)

Il segnale EMG nel tempo è il valore atteso di un osservabile $A(t)$: $x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$ La trasformata di Fourier soddisfa: $X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)],\tilde{A}(f)=\int A(t)e^{-i2\pi ft}dt$ Una maggiore coerenza (fuori-diagonali “vive”) produce strutture più regolari in $x(t)$ e picchi più stabili in $X(f)$.

Ruolo della normalizzazione

La condizione $\mathrm{Tr}[\rho ]=1$ assicura che i cambiamenti di coerenza siano **interiori alla distribuzione** (cioè nei rapporti tra i modi) e non dovuti a variazioni spurie del “peso totale” del sistema: è il vincolo di **omeostasi probabilistica**.

⚖️ 5. Simmetria coerente e coerenza simmetrica

Nel modello *quantum-like* della funzione masticatoria, i concetti di **coerenza** e **simmetria** non sono indipendenti: essi descrivono due aspetti complementari dello stesso fenomeno.

• La **coerenza** rappresenta il grado di correlazione funzionale e di sincronizzazione tra gli stati neuromotori ($$\begin{gathered} {\rho }_{k\ell }, \\ k\ne \ell \end{gathered}$$);
• La **simmetria** rappresenta l’equilibrio delle distribuzioni probabilistiche bilaterali (${\rho }_L\approx {\rho }_R$).

Quando queste due condizioni coesistono, si realizza uno stato che definiamo **simmetria coerente** o **coerenza simmetrica**: un sistema in cui le interazioni dinamiche dei due lati si manifestano con fasi e ampiezze diverse, ma si mantengono entro un’invarianza funzionale complessiva.

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🧠 Significato matematico

Nel formalismo di Hilbert, la simmetria coerente può essere espressa dalla condizione:

${\rho }_{LR}={\rho }_L\otimes {\rho }_R+\mathrm{\Delta }\rho$

dove il termine $\mathrm{\Delta }\rho$ rappresenta il contributo di correlazione tra i due sottosistemi (massaeteri sinistro e destro). Quando $\Vert \mathrm{\Delta }\rho \Vert$ è piccolo, il sistema mantiene una **coerenza bilaterale stabile**; al crescere di $\Vert \mathrm{\Delta }\rho \Vert$, emergono asimmetrie funzionali o compensazioni patologiche.

La simmetria coerente non implica identità di comportamento (come nella simmetria geometrica perfetta), ma **invarianza di relazione**: il sistema può cambiare localmente purché la sua struttura globale di coerenza rimanga invariata nel tempo.

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🧩 Interpretazione fisiologica

Nel contesto neuromuscolare masticatorio:

• La **coerenza** misura la continuità temporale della funzione (quanto i pattern si mantengono correlati nel tempo);
• La **simmetria** misura l’equilibrio spaziale (quanto i due lati partecipano in modo bilanciato alla funzione).

Quando il sistema è in uno stato di **coerenza simmetrica**, le oscillazioni bilaterali dei masseteri sono sincrone, proporzionali e autoregolate. Nel tracciato EMG interferenziale, questa condizione si manifesta come un segnale stabile, ad ampiezza bilanciata e con spettro coerente.

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💡 Valore diagnostico

• **Coerenza alta + Simmetria alta →** equilibrio funzionale fisiologico (*

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🧠 Lettura clinico-operativa (EMG interferenziale)

Livello di coerenza	Stato di ρ (intuizione)	Tracciato EMG (osservabile)	Interpretazione
Alta	quasi puro (fuori-diagonali marcate)	onda regolare, fase stabile	controllo bilaterale fine / sincronia
Media	parzialmente misto	interferenza irregolare ma ripetibile	bilanciamento dinamico
Bassa	quasi diagonale (fuori-diagonali ~0)	rumore/variabilità, perdita di fase	attività indipendente, fatica o disfunzione

Nota esplicita

La **coerenza** nel senso quantum-like **non** implica fenomeni quantistici fisici: è una **metafora matematica** per modellare la relazione tra stati funzionali (i “modi” di reclutamento) e spiegare perché un EMG medio può apparire simmetrico pur ospitando micro-alterazioni che non emergono nel valore atteso.

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1° Step: Rappresentazione quantistica mista dello schema di reclutamento motorio nell’EMG

Il segnale elettromiografico (EMG) di superficie dei muscoli masseteri può essere interpretato come la **proiezione (o misura)** di uno **stato misto** definito su uno spazio di Hilbert finito, i cui vettori di base rappresentano le diverse configurazioni di reclutamento delle unità motorie.

Il tracciato d’interferenza visibile nell’EMG può essere così descritto come il risultato della **sovrapposizione vettoriale** e delle **relazioni di fase** tra questi stati elementari, in modo analogo alle strutture d’interferenza osservate in un sistema quantistico.

1. Spazio degli stati e vettori base

Sia ${\mathscr{H}}$ uno spazio di Hilbert complesso generato da un insieme di vettori di base che rappresentano i modelli di reclutamento motorio:

${\mathscr{H}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_d⟩\}$

Ogni vettore \(|e_k\rangle\) corrisponde a un pattern fisiologicamente significativo (unità motorie a bassa soglia, ad alta soglia, co-attivazioni sinergiche, ecc.).

2. Stati puri e stati misti

Uno **stato puro** è un vettore unitario \(|\psi\rangle \in \mathcal{H}\), descritto dall’operatore di densità:

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

Uno **stato misto** è invece una combinazione convessa di stati puri:

$$\begin{gathered} \rho =\sum _{j=1}^m{p}_j|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|,p_j\ge 0, \\ \sum _j{p}_j=1 \end{gathered}$$

Dal punto di vista fisiologico, \(\rho\) rappresenta la **variabilità stocastica** e la **micro-eterogeneità** del reclutamento motorio nel tempo (fatica, input riflessi, rumore di fondo).

3. Osservabili: dominio del tempo e delle frequenze

Il segnale EMG misurato nel tempo \(t\) può essere espresso come valore atteso di un operatore osservabile \(A(t)\):

$x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$

Analogamente, la potenza spettrale in una banda di frequenza \(B\) si scrive:

$P(B)=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

dove \(S(B)\) rappresenta un operatore positivo che aggrega il contributo dei modi di reclutamento nella banda \(B\).

4. Struttura di interferenza

Scrivendo uno stato puro come \(|\psi\rangle = \sum_k c_k |e_k\rangle\), si ha:

$x_{\psi }(t)=⟨\psi |A(t)|\psi ⟩=\sum _{k,\ell }{c}_k\overline{c_{\ell }}⟨e_{\ell }|A(t)|e_k⟩$

I termini diagonali (\(k=\ell\)) rappresentano la **potenza dei modi**, mentre quelli fuori diagonale (\(k\neq \ell\)) descrivono le **coerenze di fase** o “interferenze”. Per uno stato misto, tali contributi sono pesati dalle probabilità \(p_j\) dei singoli stati \(|\psi_j\rangle\).

5. Modellazione bilaterale (masseteri sinistro e destro)

Per rappresentare la sinergia bilaterale si usa un sistema bipartito:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R,\rho \in {𝒮}({{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R)$

I segnali \(x_L(t)\) e \(x_R(t)\) corrispondono rispettivamente alle aspettative di \(A_L(t)\otimes I\) e \(I\otimes A_R(t)\). La correlazione sincrona tra i due lati (co-contrazione) è modellata da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Il termine “quantistico” va inteso **in senso analogico e matematico**, non come fenomeno fisico di entanglement.

6. Collegamento con la trasformata di Fourier

Definendo la trasformata di Fourier del segnale temporale:

$X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt$

si ottiene:

$X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)]$

con \(\widetilde{A}(f)\) operatore di frequenza. La potenza di banda risulta:

$P(B)=\underset{B}{\int }|X(f){|}^{2}df=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

7. Esempio di stato misto a tre modi

Sia \(|e_1\rangle, |e_2\rangle, |e_3\rangle\) la base di tre modalità di reclutamento (lento, intermedio, rapido). Uno stato misto semplice è:

$\rho =p_1|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|+p_2|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|,|{\psi }_1⟩=\alpha |e_1⟩+\beta |e_2⟩,|{\psi }_2⟩=\gamma |e_2⟩+\delta |e_3⟩$

con \(p_1+p_2=1\). Le componenti fuori diagonale \(\langle e_\ell|A(t)|e_k\rangle\) producono l’effetto d’interferenza osservabile nel tracciato EMG e nei picchi dello spettro \(X(f)\).

8. Significato clinico-analitico

• **Occupanze** (\(\pi_k = \operatorname{Tr}[\rho |e_k\rangle\langle e_k|]\)): rappresentano la prevalenza relativa dei diversi schemi di reclutamento (es. fatica o iperattività).
• **Coerenze** (\(\rho_{k\ell},\ k\neq \ell\)): esprimono la stabilità o la sincronia dei pattern coordinati (es. tremori, oscillazioni ritmiche).
• **Asimmetrie** (\(\rho_L\) vs \(\rho_R\)): differenze tra i due lati dei masseteri, utili a identificare squilibri funzionali.
• **Marcatori spettrali**: i picchi nel dominio di frequenza rappresentano la manifestazione macroscopica delle coerenze vettoriali nello spazio di stato.

9. Limitazioni del modello

Il modello “quantum-like” è **puramente matematico** e non implica fenomeni quantistici fisici nei tessuti biologici. L’analisi EMG fornisce informazioni periferiche sul reclutamento muscolare e **non** permette diagnosi dirette di patologie cerebrali.

10. Sintesi per il progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative

L’approccio propone di rappresentare i pattern di reclutamento motorio come vettori in uno spazio di Hilbert finito. Il segnale EMG è descritto come la media (traccia) di osservabili temporali e spettrali rispetto a uno stato misto \(\rho\):

$x(t)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho A(t)],X(f)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho \tilde{A}(f)]$

Le componenti diagonali di \(\rho\) rappresentano la distribuzione dei modi di reclutamento, mentre quelle fuori diagonale descrivono la coerenza dinamica. La modellazione bilaterale consente di studiare la coordinazione sinistra-destra dei masseteri attraverso osservabili di correlazione, aprendo nuove prospettive diagnostiche nel dolore orofacciale e nella neurognatologia evocata.

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Interpretazione dello spazio di Hilbert congiunto dei masseteri

La figura tridimensionale rappresenta in forma schematica il **Joint Hilbert Space** dei due muscoli masseteri, modellato come:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R$

dove:

• ${{\mathscr{H}}}_L$ è lo spazio di Hilbert associato ai **modi di reclutamento del massetere sinistro**;
• ${{\mathscr{H}}}_R$ è lo spazio di Hilbert del **massetere destro**.

Ogni freccia nel diagramma corrisponde a un vettore di stato o a una proiezione (operatore osservabile) che agisce in uno di questi sottospazi.

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🔵 Significato delle frecce blu (massetere sinistro)

1. La freccia bidimensionale “a V” (sulla sinistra)

Rappresenta lo spazio locale degli stati del massetere sinistro, ossia l’insieme delle possibili configurazioni di reclutamento delle unità motorie:

$|e_1⟩,|e_2⟩\in {{\mathscr{H}}}_L$

La forma “a V” indica che questo sottosistema contiene più di un modo attivo, ognuno con la propria ampiezza di probabilità. Il grado di apertura della “V” diventa così una **metafora visiva dell’operatore densità**, che descrive la distribuzione probabilistica del reclutamento motorio.

Formalmente, l’operatore densità è:

${\rho }_L=\sum _i{p}_i|e_i⟩⟨e_i|$

L’apertura della “V” rappresenta quindi la **varianza probabilistica** (o eterogeneità) dei modi di attivazione.

→ In sintesi: la “V” blu corrisponde all’**operatore densità** ${\rho }_L$, e la sua ampiezza simboleggia la dispersione statistica del reclutamento muscolare.

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2. Le frecce blu tridimensionali nel piano centrale

Rappresentano la **proiezione della densità locale** ${\rho }_L$ nello spazio congiunto:

${\rho }_{LR}={\rho }_L\otimes {\rho }_R$

oppure, in presenza di correlazioni sinergiche, in uno **stato non separabile**:

$\rho \ne {\rho }_L\otimes {\rho }_R$

Graficamente, le frecce blu che si dirigono verso il centro del cubo rappresentano la porzione di attività sinistra che **partecipa alla coordinazione bilaterale**, ossia la parte di varianza EMG sincronizzata con il lato destro.

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🔴 Significato delle frecce rosse (massetere destro)

Le frecce rosse hanno lo stesso significato ma riferito al sottospazio ${{\mathscr{H}}}_R$ e alla densità ${\rho }_R$. L’intersezione tra frecce blu e rosse nel centro del diagramma indica la **regione di attività congiunta**, rappresentata matematicamente dall’operatore di correlazione:

$C(t)=A_L(t)\otimes A_R(t)$

e dal suo valore atteso:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho C(t)]$

Questo termine descrive la **sincronia bilaterale** o la **co-contrazione funzionale** tra i due masseteri.

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🧩 Tabella riassuntiva

Elemento grafico	Significato matematico	Interpretazione fisiologica
Freccia blu “a V”	${\rho }_L$ – operatore densità (varianza)	Dispersione probabilistica del reclutamento sinistro
Freccia rossa “a V”	${\rho }_R$ – operatore densità (varianza)	Dispersione probabilistica del reclutamento destro
Frecce 3D blu/rosse che convergono	${{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R$	Coordinazione bilaterale dei pattern motori
Zona di sovrapposizione centrale	$\rho$ non separabile	Coerenza funzionale o sinergia neuro-muscolare

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💡 Interpretazione clinica

• La **sincronia fisiologica** tra i due lati riflette una coordinazione masticatoria o posturale corretta.
• Le **asimmetrie** o la **decorrelazione** dei segnali indicano possibili disfunzioni neuromuscolari o compensazioni patologiche.
• Il modello matematico consente di quantificare la **coerenza funzionale** e la **probabilità di reclutamento simultaneo** in modo rigoroso.

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📘 Nota esplicativa per la pubblicazione Masticationpedia

Il diagramma 3D mostra come i sottospazi di Hilbert ${{\mathscr{H}}}_L$ e ${{\mathscr{H}}}_R$ vengano combinati in un unico spazio composito. Le frecce colorate indicano le componenti di stato dei due muscoli, mentre la loro intersezione centrale rappresenta la regione di correlazione funzionale descritta da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Questa rappresentazione fornisce una chiave visiva per comprendere la **logica vettoriale** del reclutamento bilaterale dei masseteri all’interno del modello *quantum-like* della neurognatologia evocata. ---

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⚖️ Limiti epistemologici dello stato misto quantistico

Nel modello *quantum-like* applicato all’EMG, lo stato del sistema neuromuscolare viene descritto tramite un **operatore densità** $\rho$ che rappresenta una miscela statistica di più configurazioni di reclutamento:

$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$

Il valore medio di un osservabile (ad esempio la potenza spettrale o la coerenza bilaterale) si ottiene come:

$⟨A⟩=\mathrm{Tr}[\rho A]$

Tale media fornisce una misura del comportamento complessivo del sistema, ma non è in grado di evidenziare **segni specifici di lesione organica o di asimmetria patologica**. Infatti, la natura probabilistica dello stato misto implica che le componenti anomale o asimmetriche possano risultare “compensate” all’interno della somma delle probabilità.

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🧠 Significato concettuale

Lo spazio di Hilbert rappresenta **tutte le possibilità di stato** del sistema neuromuscolare. Quando il sistema si trova in uno stato misto, ciò che viene osservato sperimentalmente (ad esempio l’interferenza EMG) è il risultato di una **media statistica** su molteplici micro-stati funzionali, ciascuno dei quali può essere fisiologico o alterato.

Questa media statistica non consente una **diagnosi diretta** di una lesione neurologica o organica, poiché le informazioni specifiche sullo stato patologico restano “nascoste” nella struttura interna dell’operatore densità.

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📊 Rappresentazione grafica nel diagramma 3D

Nel diagramma tridimensionale dello spazio di Hilbert congiunto:

• Le frecce blu e rosse rappresentano le componenti di stato dei due masseteri (${{\mathscr{H}}}_L$ e ${{\mathscr{H}}}_R$);
• L’area centrale di sovrapposizione illustra la **coerenza bilaterale media** ($\mathrm{\Gamma }(t)$);
• L’insieme delle frecce nel volume cubico visualizza la **somma e la media degli operatori densità**, i cui vettori risultanti non mostrano un segno marcato di asimmetria.

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💬 Interpretazione clinica

L’assenza di un vettore risultante fortemente direzionato o deformato nello spazio di Hilbert indica che il sistema si trova in una **condizione di equilibrio statistico** — coerente con un’attività neuromuscolare complessivamente simmetrica. Tuttavia, tale equilibrio non esclude la presenza di **micro-alterazioni neurologiche** o **danni organici**: semplicemente, esse non emergono nel valore medio misurato, perché la descrizione quantistica mista è **non-deterministica**.

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🧭 Nota concettuale per la ricerca

Il modello *quantum-like* non mira a sostituire la diagnostica clinica diretta, ma a fornire un **quadro matematico di probabilità funzionale**, nel quale la fisiologia viene interpretata come un insieme di stati sovrapposti. La mancata “diagnosticità” dello stato misto non rappresenta un limite, bensì una **proprietà epistemologica intrinseca**: il modello descrive il *come* un sistema funziona, non *che cosa* lo danneggia.

In tal senso, il paradigma *quantum-like* di Masticationpedia costituisce una base teorica per lo sviluppo di **metriche di coerenza funzionale** che potranno, in futuro, integrarsi con i metodi diagnostici neuro-fisiologici classici.

== Interpretazione della figura: spazio di Hilbert e valore medio osservabile ==

La figura rappresenta lo **spazio di Hilbert** nel quale si collocano tutti i possibili stati funzionali neuromuscolari del sistema masticatorio. Ogni vettore nello spazio tridimensionale corrisponde a una specifica configurazione di reclutamento delle unità motorie, come nel modello EMG.

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🎯 Struttura generale della figura

• Il **piano grigio** rappresenta lo spazio tridimensionale di Hilbert, le cui dimensioni (x, y, z) corrispondono a diversi parametri funzionali: forza, frequenza, sincronizzazione.
• Le **frecce grigie** che partono dall’origine sono i **vettori di stato** $|{\psi }_i⟩$, ognuno dei quali rappresenta una possibile configurazione istantanea del sistema muscolare.

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🔶 Origine dello spazio

Il punto d’origine, dove si incontrano gli assi x, y e z, indica il **centro di equilibrio statistico** del sistema, ossia la condizione neutra in cui nessun lato (destro o sinistro) prevale. Tutte le frecce partono da questo punto, poiché ogni stato funzionale viene descritto come deviazione rispetto all’equilibrio.

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🔷 La freccia blu (⟨A⟩)

La **freccia blu**, indicata come $⟨A⟩$, rappresenta la **media vettoriale** di tutte le frecce grigie, cioè il **valore medio di un osservabile** del sistema.

In termini matematici:

$⟨A⟩=\mathrm{Tr}[\rho A]$

dove:

• $A$ = operatore osservabile (una grandezza misurabile, ad esempio la potenza EMG o la coerenza bilaterale);
• $\rho$ = operatore densità, che descrive la probabilità di ciascun stato;
• $⟨A⟩$ = media ponderata di tutti i contributi di stato.

La freccia blu rappresenta quindi la **sintesi probabilistica** del comportamento complessivo del sistema neuromuscolare.

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🧠 Significato concettuale

Le frecce grigie corrispondono ai **micro-stati locali** di attività del muscolo massetere: ciascuna indica un diverso schema di reclutamento delle unità motorie. Il muscolo non opera mai in uno stato singolo, ma in una **sovrapposizione dinamica** di molte configurazioni.

La freccia blu $⟨A⟩$ indica la **media** di tutti questi stati e corrisponde al segnale EMG osservabile nel dominio macroscopico.

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⚖️ Conseguenza diagnostica

Se le frecce grigie sono distribuite **in modo simmetrico** e la freccia blu $⟨A⟩$ è **centrata e di piccola ampiezza**, il sistema si trova in una condizione di:

• equilibrio funzionale complessivo,
• assenza di direzione dominante,
• e quindi **assenza di segni evidenti di asimmetria o danno neurologico**.

Tuttavia, ciò non implica che non esistano alterazioni locali: il modello a stato misto descrive solo **medie statistiche**, non eventi deterministici.

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📘 Riassunto sintetico

Elemento grafico	Simbolo	Significato
Frecce grigie	$|{\psi }_i⟩$	Micro-stati o configurazioni locali del sistema
Piano grigio	${\mathscr{H}}$	Spazio di Hilbert delle possibilità funzionali
Punto d’origine	—	Stato di equilibrio statistico
Freccia blu	$⟨A⟩=\mathrm{Tr}[\rho A]$	Media osservabile del sistema (valore atteso)
Distribuzione simmetrica dei vettori	—	Assenza di asimmetria patologica o lesione evidente

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💬 Interpretazione clinica

La distribuzione simmetrica dei vettori nello spazio di Hilbert e la ridotta ampiezza del vettore medio $⟨A⟩$ indicano una condizione di **equilibrio funzionale bilaterale**. Ciò suggerisce che, pur esistendo fluttuazioni locali o micro-alterazioni, il sistema mantiene una **coerenza globale** compatibile con la normalità fisiologica.

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📍 Nota concettuale finale

Il modello a stato misto quantistico non è uno strumento diagnostico diretto, ma un **modello descrittivo** del comportamento probabilistico del sistema neuromuscolare. Esso fornisce una mappa delle *possibilità funzionali*, non un referto clinico di danno organico. Il suo valore risiede nella capacità di rappresentare matematicamente la **complessità coordinativa** e la **coerenza statistica** della funzione masticatoria.

⚙️ Normalizzazione dello stato misto

Nel modello *quantum-like* di Masticationpedia, lo stato funzionale del sistema neuromuscolare viene espresso tramite l’operatore densità:

$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$

dove i coefficienti $p_i$ rappresentano le probabilità relative delle diverse configurazioni di reclutamento motorio. Affinché lo stato abbia significato fisico e comparativo, deve essere **normalizzato** secondo la condizione:

$\mathrm{Tr}[\rho ]=\sum _i{p}_i=1$

La normalizzazione garantisce che l’intero spazio di Hilbert rappresenti un sistema unitario e coerente, in cui tutte le possibilità funzionali sommano a un unico “peso probabilistico” globale.

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💬 Interpretazione fisiologica

In termini biologici, la normalizzazione di $\rho$ equivale a considerare il sistema neuromuscolare come un’entità omeostatica: anche se le singole unità motorie variano la propria attivazione, il sistema mantiene una distribuzione complessiva costante nel tempo. Questo implica che:

• il segnale EMG osservato è sempre riferito a una base probabilistica normalizzata,
• le variazioni patologiche o asimmetriche emergono solo come **deformazioni interne** alla distribuzione, non come variazioni del totale.

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📊 Valore diagnostico della normalizzazione

La condizione di normalizzazione consente di: 1. confrontare soggetti diversi o sessioni differenti sullo stesso piano funzionale; 2. distinguere variazioni fisiologiche (omeostatiche) da alterazioni effettive della coerenza; 3. formulare indici quantitativi di asimmetria probabilistica come deviazioni dalla traccia unitaria.

In sintesi, la normalizzazione dello stato misto fornisce la base matematica per interpretare la simmetria funzionale del sistema masticatorio come una proprietà di equilibrio statistico e non come un dato grezzo di ampiezza del segnale.

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Interpretazione della figura: spazio di Hilbert e valore medio osservabile

La figura illustra uno dei principi cardine del modello *quantum-like* sviluppato nel progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative: il comportamento neuromuscolare non viene interpretato come una sequenza deterministica di eventi, ma come una **distribuzione di stati funzionali** all’interno di uno spazio di Hilbert multidimensionale.

In questo quadro teorico, ogni vettore rappresenta una possibile configurazione di reclutamento motorio, mentre la freccia blu $⟨A⟩$ indica la **media statistica degli osservabili** ottenuta a partire dall’operatore densità $\rho$. La figura rende visibile un concetto chiave: > il segnale EMG che osserviamo clinicamente non è la fotografia di un evento unico, ma la sovrapposizione probabilistica di molteplici micro-stati.

Questa rappresentazione non mira a diagnosticare una lesione specifica, bensì a mostrare come la **coerenza funzionale** e la **simmetria bilaterale** emergano come proprietà statistiche globali del sistema, esattamente come in un modello di stato misto quantistico.

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1° Step: Rappresentazione quantistica mista dello schema di reclutamento motorio nell’EMG

Il segnale elettromiografico (EMG) di superficie dei muscoli masseteri può essere interpretato come la **proiezione (o misura)** di uno **stato misto** definito su uno spazio di Hilbert finito, i cui vettori di base rappresentano le diverse configurazioni di reclutamento delle unità motorie.

Il tracciato d’interferenza visibile nell’EMG può essere così descritto come il risultato della **sovrapposizione vettoriale** e delle **relazioni di fase** tra questi stati elementari, in modo analogo alle strutture d’interferenza osservate in un sistema quantistico.

1. Spazio degli stati e vettori base

Sia ${\mathscr{H}}$ uno spazio di Hilbert complesso generato da un insieme di vettori di base che rappresentano i modelli di reclutamento motorio:

${\mathscr{H}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_d⟩\}$

Ogni vettore $|e_k⟩$ corrisponde a un pattern fisiologicamente significativo (unità motorie a bassa soglia, ad alta soglia, co-attivazioni sinergiche, ecc.).

2. Stati puri e stati misti

Uno **stato puro** è un vettore unitario $|\psi ⟩\in {\mathscr{H}}$, descritto dall’operatore di densità:

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

Uno **stato misto** è invece una combinazione convessa di stati puri:

$$\begin{gathered} \rho =\sum _{j=1}^m{p}_j|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|,p_j\ge 0, \\ \sum _j{p}_j=1 \end{gathered}$$

Dal punto di vista fisiologico, $\rho$ rappresenta la **variabilità stocastica** e la **micro-eterogeneità** del reclutamento motorio nel tempo (fatica, input riflessi, rumore di fondo).

3. Osservabili: dominio del tempo e delle frequenze

Il segnale EMG misurato nel tempo $t$ può essere espresso come valore atteso di un operatore osservabile $A(t)$:

$x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$

Analogamente, la potenza spettrale in una banda di frequenza $B$ si scrive:

$P(B)=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

dove $S(B)$ rappresenta un operatore positivo che aggrega il contributo dei modi di reclutamento nella banda $B$.

4. Struttura di interferenza

Scrivendo uno stato puro come $|\psi ⟩=\sum _k{c}_k|e_k⟩$, si ha:

$x_{\psi }(t)=⟨\psi |A(t)|\psi ⟩=\sum _{k,\ell }{c}_k\overline{c_{\ell }}⟨e_{\ell }|A(t)|e_k⟩$

I termini diagonali ($k=\ell$) rappresentano la **potenza dei modi**, mentre quelli fuori diagonale ($k\ne \ell$) descrivono le **coerenze di fase** o “interferenze”. Per uno stato misto, tali contributi sono pesati dalle probabilità $p_j$ dei singoli stati $|{\psi }_j⟩$.

5. Modellazione bilaterale (masseteri sinistro e destro)

Per rappresentare la sinergia bilaterale si usa un sistema bipartito:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R,\rho \in {𝒮}({{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R)$

I segnali $x_L(t)$ e $x_R(t)$ corrispondono rispettivamente alle aspettative di $A_L(t)\otimes I$ e $I\otimes A_R(t)$. La correlazione sincrona tra i due lati (co-contrazione) è modellata da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Il termine “quantistico” va inteso **in senso analogico e matematico**, non come fenomeno fisico di entanglement.

6. Collegamento con la trasformata di Fourier

Definendo la trasformata di Fourier del segnale temporale:

$X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt$

si ottiene:

$X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)]$

con $\tilde{A}(f)$ operatore di frequenza. La potenza di banda risulta:

$P(B)=\underset{B}{\int }|X(f){|}^{2}df=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

7. Esempio di stato misto a tre modi

Sia $|e_1⟩,|e_2⟩,|e_3⟩$ la base di tre modalità di reclutamento (lento, intermedio, rapido). Uno stato misto semplice è:

$\rho =p_1|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|+p_2|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|,|{\psi }_1⟩=\alpha |e_1⟩+\beta |e_2⟩,|{\psi }_2⟩=\gamma |e_2⟩+\delta |e_3⟩$

con $p_1+p_2=1$. Le componenti fuori diagonale $⟨e_{\ell }|A(t)|e_k⟩$ producono l’effetto d’interferenza osservabile nel tracciato EMG e nei picchi dello spettro $X(f)$.

8. Significato clinico-analitico

• **Occupanze** (${\pi }_k=\mathrm{Tr}[\rho |e_k⟩⟨e_k|]$): rappresentano la prevalenza relativa dei diversi schemi di reclutamento (es. fatica o iperattività).
• **Coerenze** ($$\begin{gathered} {\rho }_{k\ell }, \\ k\ne \ell \end{gathered}$$): esprimono la stabilità o la sincronia dei pattern coordinati (es. tremori, oscillazioni ritmiche).
• **Asimmetrie** (${\rho }_L$ vs ${\rho }_R$): differenze tra i due lati dei masseteri, utili a identificare squilibri funzionali.
• **Marcatori spettrali**: i picchi nel dominio di frequenza rappresentano la manifestazione macroscopica delle coerenze vettoriali nello spazio di stato.

9. Limitazioni del modello

Il modello “quantum-like” è **puramente matematico** e non implica fenomeni quantistici fisici nei tessuti biologici. L’analisi EMG fornisce informazioni periferiche sul reclutamento muscolare e **non** permette diagnosi dirette di patologie cerebrali.

10. Sintesi per il progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative

L’approccio propone di rappresentare i pattern di reclutamento motorio come vettori in uno spazio di Hilbert finito. Il segnale EMG è descritto come la media (traccia) di osservabili temporali e spettrali rispetto a uno stato misto $\rho$:

$x(t)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho A(t)],X(f)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho \tilde{A}(f)]$

Le componenti diagonali di $\rho$ rappresentano la distribuzione dei modi di reclutamento, mentre quelle fuori diagonale descrivono la coerenza dinamica. La modellazione bilaterale consente di studiare la coordinazione sinistra-destra dei masseteri attraverso osservabili di correlazione, aprendo nuove prospettive diagnostiche nel dolore orofacciale e nella neurognatologia evocata.

🔗 Coerenza come parametro funzionale nello stato misto

Definizione (coerenza classica tra due EMG)

La coerenza spettrale tra due segnali (es. EMG sinistro e destro) misura quanto le loro oscillazioni sono correlate in frequenza e fase (0 → nessuna relazione; 1 → sincronia perfetta). La definizione standard è: $C_{xy}(f)=\frac{{|P_{xy}(f)|}^2}{P_{xx}(f)P_{yy}(f)}$ dove $P_{xy}(f)$ è lo spettro incrociato (cross-spectrum) e $P_{xx}(f),P_{yy}(f)$ sono gli spettri di potenza dei due segnali.

Visione quantum-like (coerenza = termini fuori diagonale)

Nel modello a stato misto, lo stato funzionale è descritto dall’operatore densità: $\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|,\text{con}\mathrm{Tr}[\rho ]=1$ Le **coerenze** sono le componenti fuori diagonale di $\rho$ nella base dei modi di reclutamento $\{|e_k⟩\}$: ${\rho }_{k\ell }=⟨e_k|\rho |e_{\ell }⟩,k\ne \ell$ I termini diagonali (${\rho }_{kk}$) descrivono l’**occupanza** dei singoli modi; i termini fuori diagonale (${\rho }_{k\ell }$) la **coerenza funzionale** (interferenza/sincronia tra modi).

Collegamento con l’osservabile (tempo e frequenza)

Il segnale EMG nel tempo è il valore atteso di un osservabile $A(t)$: $x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$ La trasformata di Fourier soddisfa: $X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)],\tilde{A}(f)=\int A(t)e^{-i2\pi ft}dt$ Una maggiore coerenza (fuori-diagonali “vive”) produce strutture più regolari in $x(t)$ e picchi più stabili in $X(f)$.

Ruolo della normalizzazione

La condizione $\mathrm{Tr}[\rho ]=1$ assicura che i cambiamenti di coerenza siano **interiori alla distribuzione** (cioè nei rapporti tra i modi) e non dovuti a variazioni spurie del “peso totale” del sistema: è il vincolo di **omeostasi probabilistica**.

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🧠 Lettura clinico-operativa (EMG interferenziale)

Livello di coerenza	Stato di ρ (intuizione)	Tracciato EMG (osservabile)	Interpretazione
Alta	quasi puro (fuori-diagonali marcate)	onda regolare, fase stabile	controllo bilaterale fine / sincronia
Media	parzialmente misto	interferenza irregolare ma ripetibile	bilanciamento dinamico
Bassa	quasi diagonale (fuori-diagonali ~0)	rumore/variabilità, perdita di fase	attività indipendente, fatica o disfunzione

Nota esplicita

La **coerenza** nel senso quantum-like **non** implica fenomeni quantistici fisici: è una **metafora matematica** per modellare la relazione tra stati funzionali (i “modi” di reclutamento) e spiegare perché un EMG medio può apparire simmetrico pur ospitando micro-alterazioni che non emergono nel valore atteso.