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Rappresentazione quantistica mista dello schema di reclutamento motorio nell’EMG

Il segnale elettromiografico (EMG) di superficie dei muscoli masseteri può essere interpretato come la **proiezione (o misura)** di uno **stato misto** definito su uno spazio di Hilbert finito, i cui vettori di base rappresentano le diverse configurazioni di reclutamento delle unità motorie.

Il tracciato d’interferenza visibile nell’EMG può essere così descritto come il risultato della **sovrapposizione vettoriale** e delle **relazioni di fase** tra questi stati elementari, in modo analogo alle strutture d’interferenza osservate in un sistema quantistico.

1. Spazio degli stati e vettori base

Sia ${\mathscr{H}}$ uno spazio di Hilbert complesso generato da un insieme di vettori di base che rappresentano i modelli di reclutamento motorio:

${\mathscr{H}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_d⟩\}$

Ogni vettore \(|e_k\rangle\) corrisponde a un pattern fisiologicamente significativo (unità motorie a bassa soglia, ad alta soglia, co-attivazioni sinergiche, ecc.).

2. Stati puri e stati misti

Uno **stato puro** è un vettore unitario \(|\psi\rangle \in \mathcal{H}\), descritto dall’operatore di densità:

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

Uno **stato misto** è invece una combinazione convessa di stati puri:

$$\begin{gathered} \rho =\sum _{j=1}^m{p}_j|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|,p_j\ge 0, \\ \sum _j{p}_j=1 \end{gathered}$$

Dal punto di vista fisiologico, \(\rho\) rappresenta la **variabilità stocastica** e la **micro-eterogeneità** del reclutamento motorio nel tempo (fatica, input riflessi, rumore di fondo).

3. Osservabili: dominio del tempo e delle frequenze

Il segnale EMG misurato nel tempo \(t\) può essere espresso come valore atteso di un operatore osservabile \(A(t)\):

$x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$

Analogamente, la potenza spettrale in una banda di frequenza \(B\) si scrive:

$P(B)=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

dove \(S(B)\) rappresenta un operatore positivo che aggrega il contributo dei modi di reclutamento nella banda \(B\).

4. Struttura di interferenza

Scrivendo uno stato puro come \(|\psi\rangle = \sum_k c_k |e_k\rangle\), si ha:

$x_{\psi }(t)=⟨\psi |A(t)|\psi ⟩=\sum _{k,\ell }{c}_k\overline{c_{\ell }}⟨e_{\ell }|A(t)|e_k⟩$

I termini diagonali (\(k=\ell\)) rappresentano la **potenza dei modi**, mentre quelli fuori diagonale (\(k\neq \ell\)) descrivono le **coerenze di fase** o “interferenze”. Per uno stato misto, tali contributi sono pesati dalle probabilità \(p_j\) dei singoli stati \(|\psi_j\rangle\).

5. Modellazione bilaterale (masseteri sinistro e destro)

Per rappresentare la sinergia bilaterale si usa un sistema bipartito:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R,\rho \in {𝒮}({{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R)$

I segnali \(x_L(t)\) e \(x_R(t)\) corrispondono rispettivamente alle aspettative di \(A_L(t)\otimes I\) e \(I\otimes A_R(t)\). La correlazione sincrona tra i due lati (co-contrazione) è modellata da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Il termine “quantistico” va inteso **in senso analogico e matematico**, non come fenomeno fisico di entanglement.

6. Collegamento con la trasformata di Fourier

Definendo la trasformata di Fourier del segnale temporale:

$X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt$

si ottiene:

$X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)]$

con \(\widetilde{A}(f)\) operatore di frequenza. La potenza di banda risulta:

$P(B)=\underset{B}{\int }|X(f){|}^{2}df=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

7. Esempio di stato misto a tre modi

Sia \(|e_1\rangle, |e_2\rangle, |e_3\rangle\) la base di tre modalità di reclutamento (lento, intermedio, rapido). Uno stato misto semplice è:

$\rho =p_1|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|+p_2|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|,|{\psi }_1⟩=\alpha |e_1⟩+\beta |e_2⟩,|{\psi }_2⟩=\gamma |e_2⟩+\delta |e_3⟩$

con \(p_1+p_2=1\). Le componenti fuori diagonale \(\langle e_\ell|A(t)|e_k\rangle\) producono l’effetto d’interferenza osservabile nel tracciato EMG e nei picchi dello spettro \(X(f)\).

8. Significato clinico-analitico

• **Occupanze** (\(\pi_k = \operatorname{Tr}[\rho |e_k\rangle\langle e_k|]\)): rappresentano la prevalenza relativa dei diversi schemi di reclutamento (es. fatica o iperattività).
• **Coerenze** (\(\rho_{k\ell},\ k\neq \ell\)): esprimono la stabilità o la sincronia dei pattern coordinati (es. tremori, oscillazioni ritmiche).
• **Asimmetrie** (\(\rho_L\) vs \(\rho_R\)): differenze tra i due lati dei masseteri, utili a identificare squilibri funzionali.
• **Marcatori spettrali**: i picchi nel dominio di frequenza rappresentano la manifestazione macroscopica delle coerenze vettoriali nello spazio di stato.

9. Limitazioni del modello

Il modello “quantum-like” è **puramente matematico** e non implica fenomeni quantistici fisici nei tessuti biologici. L’analisi EMG fornisce informazioni periferiche sul reclutamento muscolare e **non** permette diagnosi dirette di patologie cerebrali.

10. Sintesi per il progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative

L’approccio propone di rappresentare i pattern di reclutamento motorio come vettori in uno spazio di Hilbert finito. Il segnale EMG è descritto come la media (traccia) di osservabili temporali e spettrali rispetto a uno stato misto \(\rho\):

$x(t)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho A(t)],X(f)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho \tilde{A}(f)]$

Le componenti diagonali di \(\rho\) rappresentano la distribuzione dei modi di reclutamento, mentre quelle fuori diagonale descrivono la coerenza dinamica. La modellazione bilaterale consente di studiare la coordinazione sinistra-destra dei masseteri attraverso osservabili di correlazione, aprendo nuove prospettive diagnostiche nel dolore orofacciale e nella neurognatologia evocata.

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Interpretazione dello spazio di Hilbert congiunto dei masseteri

La figura tridimensionale rappresenta in forma schematica il **Joint Hilbert Space** dei due muscoli masseteri, modellato come:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R$

dove:

• ${{\mathscr{H}}}_L$ è lo spazio di Hilbert associato ai **modi di reclutamento del massetere sinistro**;
• ${{\mathscr{H}}}_R$ è lo spazio di Hilbert del **massetere destro**.

Ogni freccia nel diagramma corrisponde a un vettore di stato o a una proiezione (operatore osservabile) che agisce in uno di questi sottospazi.

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🔵 Significato delle frecce blu (massetere sinistro)

1. La freccia bidimensionale “a V” (sulla sinistra)

Rappresenta lo spazio locale degli stati del massetere sinistro, ossia l’insieme delle possibili configurazioni di reclutamento delle unità motorie:

$|e_1⟩,|e_2⟩\in {{\mathscr{H}}}_L$

La forma “a V” indica che questo sottosistema contiene più di un modo attivo, ognuno con la propria ampiezza di probabilità. Il grado di apertura della “V” diventa così una **metafora visiva dell’operatore densità**, che descrive la distribuzione probabilistica del reclutamento motorio.

Formalmente, l’operatore densità è:

${\rho }_L=\sum _i{p}_i|e_i⟩⟨e_i|$

L’apertura della “V” rappresenta quindi la **varianza probabilistica** (o eterogeneità) dei modi di attivazione.

→ In sintesi: la “V” blu corrisponde all’**operatore densità** ${\rho }_L$, e la sua ampiezza simboleggia la dispersione statistica del reclutamento muscolare.

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2. Le frecce blu tridimensionali nel piano centrale

Rappresentano la **proiezione della densità locale** ${\rho }_L$ nello spazio congiunto:

${\rho }_{LR}={\rho }_L\otimes {\rho }_R$

oppure, in presenza di correlazioni sinergiche, in uno **stato non separabile**:

$\rho \ne {\rho }_L\otimes {\rho }_R$

Graficamente, le frecce blu che si dirigono verso il centro del cubo rappresentano la porzione di attività sinistra che **partecipa alla coordinazione bilaterale**, ossia la parte di varianza EMG sincronizzata con il lato destro.

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🔴 Significato delle frecce rosse (massetere destro)

Le frecce rosse hanno lo stesso significato ma riferito al sottospazio ${{\mathscr{H}}}_R$ e alla densità ${\rho }_R$. L’intersezione tra frecce blu e rosse nel centro del diagramma indica la **regione di attività congiunta**, rappresentata matematicamente dall’operatore di correlazione:

$C(t)=A_L(t)\otimes A_R(t)$

e dal suo valore atteso:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho C(t)]$

Questo termine descrive la **sincronia bilaterale** o la **co-contrazione funzionale** tra i due masseteri.

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🧩 Tabella riassuntiva

Elemento grafico	Significato matematico	Interpretazione fisiologica
Freccia blu “a V”	${\rho }_L$ – operatore densità (varianza)	Dispersione probabilistica del reclutamento sinistro
Freccia rossa “a V”	${\rho }_R$ – operatore densità (varianza)	Dispersione probabilistica del reclutamento destro
Frecce 3D blu/rosse che convergono	${{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R$	Coordinazione bilaterale dei pattern motori
Zona di sovrapposizione centrale	$\rho$ non separabile	Coerenza funzionale o sinergia neuro-muscolare

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💡 Interpretazione clinica

• La **sincronia fisiologica** tra i due lati riflette una coordinazione masticatoria o posturale corretta.
• Le **asimmetrie** o la **decorrelazione** dei segnali indicano possibili disfunzioni neuromuscolari o compensazioni patologiche.
• Il modello matematico consente di quantificare la **coerenza funzionale** e la **probabilità di reclutamento simultaneo** in modo rigoroso.

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📘 Nota esplicativa per la pubblicazione Masticationpedia

Il diagramma 3D mostra come i sottospazi di Hilbert ${{\mathscr{H}}}_L$ e ${{\mathscr{H}}}_R$ vengano combinati in un unico spazio composito. Le frecce colorate indicano le componenti di stato dei due muscoli, mentre la loro intersezione centrale rappresenta la regione di correlazione funzionale descritta da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Questa rappresentazione fornisce una chiave visiva per comprendere la **logica vettoriale** del reclutamento bilaterale dei masseteri all’interno del modello *quantum-like* della neurognatologia evocata. ---