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Rappresentazione quantistica mista dello schema di reclutamento motorio nell’EMG

Il segnale elettromiografico (EMG) di superficie dei muscoli masseteri può essere interpretato come la **proiezione (o misura)** di uno **stato misto** definito su uno spazio di Hilbert finito, i cui vettori di base rappresentano le diverse configurazioni di reclutamento delle unità motorie.

Il tracciato d’interferenza visibile nell’EMG può essere così descritto come il risultato della **sovrapposizione vettoriale** e delle **relazioni di fase** tra questi stati elementari, in modo analogo alle strutture d’interferenza osservate in un sistema quantistico.

1. Spazio degli stati e vettori base

Sia \(\mathcal{H}\) uno spazio di Hilbert complesso generato da un insieme di vettori di base che rappresentano i modelli di reclutamento motorio:

${\mathscr{H}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{|e_1⟩,|e_2⟩,\dots ,|e_d⟩\}$

Ogni vettore \(|e_k\rangle\) corrisponde a un pattern fisiologicamente significativo (unità motorie a bassa soglia, ad alta soglia, co-attivazioni sinergiche, ecc.).

2. Stati puri e stati misti

Uno **stato puro** è un vettore unitario \(|\psi\rangle \in \mathcal{H}\), descritto dall’operatore di densità:

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

Uno **stato misto** è invece una combinazione convessa di stati puri:

$$\begin{gathered} \rho =\sum _{j=1}^m{p}_j|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|,p_j\ge 0, \\ \sum _j{p}_j=1 \end{gathered}$$

Dal punto di vista fisiologico, \(\rho\) rappresenta la **variabilità stocastica** e la **micro-eterogeneità** del reclutamento motorio nel tempo (fatica, input riflessi, rumore di fondo).

3. Osservabili: dominio del tempo e delle frequenze

Il segnale EMG misurato nel tempo \(t\) può essere espresso come valore atteso di un operatore osservabile \(A(t)\):

$x(t)=\mathrm{Tr}[\rho A(t)]$

Analogamente, la potenza spettrale in una banda di frequenza \(B\) si scrive:

$P(B)=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

dove \(S(B)\) rappresenta un operatore positivo che aggrega il contributo dei modi di reclutamento nella banda \(B\).

4. Struttura di interferenza

Scrivendo uno stato puro come \(|\psi\rangle = \sum_k c_k |e_k\rangle\), si ha:

$x_{\psi }(t)=⟨\psi |A(t)|\psi ⟩=\sum _{k,\ell }{c}_k\overline{c_{\ell }}⟨e_{\ell }|A(t)|e_k⟩$

I termini diagonali (\(k=\ell\)) rappresentano la **potenza dei modi**, mentre quelli fuori diagonale (\(k\neq \ell\)) descrivono le **coerenze di fase** o “interferenze”. Per uno stato misto, tali contributi sono pesati dalle probabilità \(p_j\) dei singoli stati \(|\psi_j\rangle\).

5. Modellazione bilaterale (masseteri sinistro e destro)

Per rappresentare la sinergia bilaterale si usa un sistema bipartito:

${\mathscr{H}}={{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R,\rho \in {𝒮}({{\mathscr{H}}}_L\otimes {{\mathscr{H}}}_R)$

I segnali \(x_L(t)\) e \(x_R(t)\) corrispondono rispettivamente alle aspettative di \(A_L(t)\otimes I\) e \(I\otimes A_R(t)\). La correlazione sincrona tra i due lati (co-contrazione) è modellata da:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\mathrm{Tr}[\rho (A_L(t)\otimes A_R(t))]$

Il termine “quantistico” va inteso **in senso analogico e matematico**, non come fenomeno fisico di entanglement.

6. Collegamento con la trasformata di Fourier

Definendo la trasformata di Fourier del segnale temporale:

$X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt$

si ottiene:

$X(f)=\mathrm{Tr}[\rho \tilde{A}(f)]$

con \(\widetilde{A}(f)\) operatore di frequenza. La potenza di banda risulta:

$P(B)=\underset{B}{\int }|X(f){|}^{2}df=\mathrm{Tr}[\rho S(B)]$

7. Esempio di stato misto a tre modi

Sia \(|e_1\rangle, |e_2\rangle, |e_3\rangle\) la base di tre modalità di reclutamento (lento, intermedio, rapido). Uno stato misto semplice è:

$\rho =p_1|{\psi }_1⟩⟨{\psi }_1|+p_2|{\psi }_2⟩⟨{\psi }_2|,|{\psi }_1⟩=\alpha |e_1⟩+\beta |e_2⟩,|{\psi }_2⟩=\gamma |e_2⟩+\delta |e_3⟩$

con \(p_1+p_2=1\). Le componenti fuori diagonale \(\langle e_\ell|A(t)|e_k\rangle\) producono l’effetto d’interferenza osservabile nel tracciato EMG e nei picchi dello spettro \(X(f)\).

8. Significato clinico-analitico

• **Occupanze** (\(\pi_k = \operatorname{Tr}[\rho |e_k\rangle\langle e_k|]\)): rappresentano la prevalenza relativa dei diversi schemi di reclutamento (es. fatica o iperattività).
• **Coerenze** (\(\rho_{k\ell},\ k\neq \ell\)): esprimono la stabilità o la sincronia dei pattern coordinati (es. tremori, oscillazioni ritmiche).
• **Asimmetrie** (\(\rho_L\) vs \(\rho_R\)): differenze tra i due lati dei masseteri, utili a identificare squilibri funzionali.
• **Marcatori spettrali**: i picchi nel dominio di frequenza rappresentano la manifestazione macroscopica delle coerenze vettoriali nello spazio di stato.

9. Limitazioni del modello

Il modello “quantum-like” è **puramente matematico** e non implica fenomeni quantistici fisici nei tessuti biologici. L’analisi EMG fornisce informazioni periferiche sul reclutamento muscolare e **non** permette diagnosi dirette di patologie cerebrali.

10. Sintesi per il progetto Wellcome – Masticationpedia Paradigm Initiative

L’approccio propone di rappresentare i pattern di reclutamento motorio come vettori in uno spazio di Hilbert finito. Il segnale EMG è descritto come la media (traccia) di osservabili temporali e spettrali rispetto a uno stato misto \(\rho\):

$x(t)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho A(t)],X(f)=\mathrm{T}\mathrm{r}[\rho \tilde{A}(f)]$

Le componenti diagonali di \(\rho\) rappresentano la distribuzione dei modi di reclutamento, mentre quelle fuori diagonale descrivono la coerenza dinamica. La modellazione bilaterale consente di studiare la coordinazione sinistra-destra dei masseteri attraverso osservabili di correlazione, aprendo nuove prospettive diagnostiche nel dolore orofacciale e nella neurognatologia evocata.