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2. Paradigma dell’osservabile neurofisiologico

Nel presente modello il sistema neuromotorio trigeminale, e più in generale l’apparato orofacciale, viene trattato come un sistema quantistico-like nel quale gli stati funzionali non sono deterministici, ma descrivibili attraverso stati misti che incorporano la coesistenza di componenti potenzialmente coerenti e incoerenti.

L’attività neurofisiologica rilevabile attraverso segnali elettromiografici (EMG) o elettroencefalografici (EEG) non rappresenta quindi un valore osservabile “puro”, ma una sovrapposizione di stati funzionali del sistema. In termini matematici, essa può essere espressa come stato misto di densità: $ρ = \sum_{i} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} |$ dove ogni vettore $| ψ_{i} ⟩$ rappresenta un microstato neurofunzionale (attività di unità motrici, pattern sinaptici, sincronizzazioni corticali), e $p_{i}$ la probabilità associata.

Tale rappresentazione descrive la fluttuazione intrinseca della risposta neurofisiologica, dovuta sia alla variabilità biologica sia alla natura indeterministica dell’interazione cervello–stimolo.

2.1 Collasso e stato puro osservabile

La stimolazione elettrica trans-craniale (TMS o tES), applicata in modo mirato all’area motoria trigeminale, funge da operatore di misura $\hat{M}$ che agisce sullo stato misto $ρ$ provocandone il collasso in uno stato puro: $ρ \overset{\hat{M}}{\to} | ψ ⟩ ⟨ ψ |$

Lo stato risultante $| ψ ⟩$ rappresenta una configurazione coerente e sincronizzata del sistema neuromotorio: il potenziale evocato motorio trigeminale (PEMT). In questa fase il sistema perde la sua indeterminazione, e la risposta neurofisiologica diviene un osservabile oggettivo, dotato di latenza, ampiezza e simmetria misurabili.

Il PEMT costituisce pertanto il “fattore di normalizzazione” del modello: un punto di riferimento che definisce lo stato funzionale puro del soggetto. Ogni successiva misura può essere confrontata rispetto a questo vettore di riferimento, così da determinare deviazioni di coerenza o alterazioni di fase.

2.2 Definizione dell’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale

Dal punto di vista operativo, il collasso del sistema e la successiva osservazione dell’output evocato consentono di costruire una funzione normalizzante $F$ : $F = N (| ψ_{e v o k e d} |, Δ t, Δ A)$ dove:

$| ψ_{e v o k e d} |$ rappresenta il modulo dell’ampiezza del potenziale evocato,
$Δ t$ la latenza media di risposta,
$Δ A$ l’asimmetria funzionale tra i due lati del sistema.

La funzione $F$ restituisce un valore adimensionale, compreso tra 0 e 1, definito come Indice Neuro-Gnatologico Funzionale ( $I_{N G}$ ): $I_{N G} = F (| ψ_{e v o k e d} |, Δ t, Δ A)$

$I_{N G} \approx 1$ → stato funzionale coerente e simmetrico (sano);
$I_{N G} < 1$ → riduzione di coerenza o asimmetria funzionale (disfunzione o danno).

L’Indice rappresenta quindi una misura oggettiva dello stato funzionale trigeminale, con valore diagnostico ma non assoluto: descrive lo stato puro osservato in seguito al collasso, non l’intero spettro potenziale di stati patologici latenti.

2.3 Limiti epistemici del modello classico

Nel modello statistico tradizionale, le variabili osservate (latenza, ampiezza, simmetria) sono trattate come commutative, ovvero: $\hat{A} \hat{B} = \hat{B} \hat{A}$ e l’ordine di osservazione non altera il risultato. Questo comporta l’assunzione che la realtà neurofisiologica sia stazionaria e deterministica, generando una falsa percezione di oggettività e un’elevata incidenza di falsi positivi (stati apparentemente normali che nascondono incoerenze non osservabili).

Nel paradigma proposto, invece, le misure EMG/EEG e il potenziale evocato sono considerate operatori non commutativi: $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \neq 0$ Il che implica che l’ordine delle osservazioni (stimolo → risposta o risposta → stimolo) modifica la struttura informativa del sistema, rendendo la diagnosi dipendente dal contesto di misura e non dal solo valore statistico aggregato.

2.4 Stato puro e spazio di Hilbert neurofisiologico

Lo stato puro $| ψ ⟩$ derivante dal collasso viene rappresentato in uno spazio di Hilbert bidimensionale: $ℋ = s p a n {| S ⟩, | D ⟩}$ dove:

$| S ⟩$ indica lo stato di salute (funzionalità coerente),
$| D ⟩$ indica lo stato patologico (disfunzione o danno).

Ogni sistema neurofisiologico reale può essere espresso come combinazione lineare: $| ψ ⟩ = α | S ⟩ + β | D ⟩, | α |^{2} + | β |^{2} = 1$

L’osservazione (stimolazione) collassa il sistema in uno dei due sottospazi, ma prima del collasso esso è in sovrapposizione — dunque non esiste un “sano” o “malato” assoluto, ma una propensione probabilistica distribuita nello spazio vettoriale.

In tal senso, la probabilità non è più frequenza bayesiana, ma ampiezza di propensione (Born, 1926): $P = | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}$ dove $| ϕ ⟩$ è lo stato osservato (misura).

Il modello sostituisce quindi la significatività classica (p < 0{,}05) con una significatività quantistica del 50%, corrispondente alla condizione di sovrapposizione massima e neutralità epistemica del sistema: $| α |^{2} = | β |^{2} = 0.5$

2.5 Implicazioni epistemologiche

Questo approccio implica che lo stato “sano” e quello “malato” coesistono simultaneamente fino al momento dell’osservazione; la salute non è più uno stato determinato ma una variabile ontologica fluttuante. Il modello diagnostico classico, basato su soglie di significatività e relazioni causa-effetto, viene sostituito da una logica non-commutativa e contestuale, nella quale ogni misura modifica la realtà del sistema osservato.

Ne deriva una rivoluzione epistemologica: la diagnosi non identifica più un valore “vero”, ma una proiezione momentanea del sistema in una delle sue configurazioni coerenti possibili.

🔗 Riferimenti concettuali

von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (1932).
Khrennikov A., Contextual Probabilistic Models and Quantum-like Representation (2003–2010).
Brukner, Zeilinger, Information Invariance and Quantum Measurements (1999).
Bagarello F., Quantum Models in Biological Systems (2019).

3. Indice neuro-gnatologico funzionale e modello diagnostico a variabili non commutative

L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale ( $I_{N G}$ ) costituisce la proiezione osservabile della coerenza neuro-muscolare trigeminale all’interno del quadro teorico quantistico-like. Mentre nel paragrafo precedente esso è stato definito come funzione empirica $F (| ψ_{e v o k e d} |, Δ t, Δ A)$ , qui se ne propone la formalizzazione operatoriale, che consente di descrivere la dinamica diagnostica in termini di misura non commutativa.

3.1 Lo spazio di Hilbert diagnostico

$ℋ = s p a n {| S ⟩, | D ⟩}$ dove $| S ⟩$ è lo stato funzionale sano (coerenza bilaterale) e $| D ⟩$ lo stato patologico o disfunzionale.

Ogni configurazione neurofisiologica individuale: $| ψ ⟩ = α | S ⟩ + β | D ⟩, | α |^{2} + | β |^{2} = 1$

L’osservabile diagnostico $\hat{O}$ è un operatore ermitiano su $ℋ$ che codifica le proprietà misurabili (latenza, ampiezza, simmetria) con autovalori $o_{S}$ e $o_{D}$ .

3.2 Operatori di misura e non-commutatività

Definiamo due operatori di misura:

$\hat{A}$ : latenza (tempo di risposta neuromotoria);
$\hat{B}$ : simmetria (bilateralità EMG/EEG).

Nel dominio classico $\hat{A} \hat{B} = \hat{B} \hat{A}$ . Nel sistema reale: $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \neq 0$ quindi il valore di $I_{N G}$ dipende dal percorso di misura. $Δ A Δ B \geq \frac{1}{2} | ⟨ [\hat{A}, \hat{B}] ⟩ |$

3.3 Definizione formale dell’Indice $I_{N G}$

Proiettori sugli stati puri: $P_{S} = | S ⟩ ⟨ S |$ , $P_{D} = | D ⟩ ⟨ D |$ . Probabilità osservate: $P (S) = Tr (P_{S} ρ), P (D) = Tr (P_{D} ρ)$ con $ρ$ densità di stato post-misura.

Indice: $I_{N G} = P (S) - P (D)$ Interpretazione: $I_{N G} = 1$ sano; $I_{N G} = - 1$ disfunzionale; $I_{N G} = 0$ sovrapposizione massima (neutralità epistemica).

L’osservazione trans-craniale funge da proiezione $\hat{M} = P_{S} + P_{D}$ . Una misura successiva non commutante con $\hat{M}$ genera uno shift diagnostico $Δ I_{N G}$ .

3.4 Il modello diagnostico non-commutativo

Sequenza di misure (latenza → simmetria): $ρ^{'} = \frac{\hat{B} \hat{A} ρ {\hat{A}}^{†} {\hat{B}}^{†}}{Tr (\hat{B} \hat{A} ρ {\hat{A}}^{†} {\hat{B}}^{†})}$ Sequenza invertita (simmetria → latenza): ${\tilde{ρ}}^{'} = \frac{\hat{A} \hat{B} ρ {\hat{B}}^{†} {\hat{A}}^{†}}{Tr (\hat{A} \hat{B} ρ {\hat{B}}^{†} {\hat{A}}^{†})}$ Differenza funzionale (non-commutatività clinica): $Δ N_{C} = Tr (| ρ^{'} - {\tilde{ρ}}^{'} |)$ Correzione dinamica: $I_{N G}^{c o r r} = I_{N G} - λ Δ N_{C}$ con $λ$ coefficiente di sensibilità empirica.

3.5 Interpretazione geometrica in spazio di Hilbert

Sfera di Bloch: angolo $θ$ fra $| S ⟩$ e $| D ⟩$ : $I_{N G} = \cos (θ)$

$θ \approx 0$ → perfetta coerenza (sano)
$θ \approx π$ → disfunzione totale
$θ \approx π / 2$ → stato critico/indecidibile

La misura non-commutativa induce una rotazione del vettore di stato sulla sfera diagnostica (transizione tra equilibrio fisiologico e perturbazione funzionale).

3.6 Implicazioni diagnostiche e predittive

Rilevazione di stati pre-patologici ( $Δ N_{C}$ alto ma $I_{N G} \approx 1$ );
Discriminazione di falsi positivi del modello classico;
Previsioni probabilistiche sull’evoluzione mediante traiettoria del vettore di stato nel tempo.

3.7 Sintesi

L’ $I_{N G}$ è un operatore di misura vettoriale governato dalla non-commutatività delle osservazioni neurofisiologiche: il suo valore è l’istantanea coerente di un sistema complesso in continua riorganizzazione.

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 L’attività neurofisiologica rilevabile attraverso segnali elettromiografici (EMG) o elettroencefalografici (EEG) non rappresenta quindi un valore osservabile “puro”, ma una '''sovrapposizione di stati funzionali''' del sistema. In termini matematici, essa può essere espressa come stato misto di densità:
 <math>
-\rho \;=\; \sum_{i} p_i \, \lvert \psi_i \rangle \langle \psi_i \rvert
+\rho \;=\; \sum_{i} p_i \, \; |\psi_i\rangle \langle \psi_i|
 </math>
-dove ogni vettore <math>\lvert \psi_i \rangle</math> rappresenta un microstato neurofunzionale (attività di unità motrici, pattern sinaptici, sincronizzazioni corticali), e <math>p_i</math> la probabilità associata.
+dove ogni vettore <math>|\psi_i\rangle</math> rappresenta un microstato neurofunzionale (attività di unità motrici, pattern sinaptici, sincronizzazioni corticali), e <math>p_i</math> la probabilità associata.
 Tale rappresentazione descrive la fluttuazione intrinseca della risposta neurofisiologica, dovuta sia alla variabilità biologica sia alla natura indeterministica dell’interazione cervello–stimolo.
 === 2.1 Collasso e stato puro osservabile ===
-La stimolazione elettrica trans-craniale (TMS o tES), applicata in modo mirato all’area motoria trigeminale, funge da '''operatore di misura''' <math>\,\hat{M}\,</math> che agisce sullo stato misto <math>\rho</math> provocandone il collasso in uno stato puro:
+La stimolazione elettrica trans-craniale (TMS o tES), applicata in modo mirato all’area motoria trigeminale, funge da '''operatore di misura''' <math>\hat{M}</math> che agisce sullo stato misto <math>\rho</math> provocandone il collasso in uno stato puro:
 <math>
-\rho \;\xrightarrow{\ \hat{M}\ }\; \lvert \psi \rangle \langle \psi \rvert
+\rho \;\xrightarrow{\ \hat{M}\ }\; |\psi\rangle \langle \psi|
 </math>
-Lo stato risultante <math>\lvert \psi \rangle</math> rappresenta una configurazione coerente e sincronizzata del sistema neuromotorio: il '''potenziale evocato motorio trigeminale (PEMT)'''. In questa fase il sistema perde la sua indeterminazione, e la risposta neurofisiologica diviene un '''osservabile oggettivo''', dotato di latenza, ampiezza e simmetria misurabili.
+Lo stato risultante <math>|\psi\rangle</math> rappresenta una configurazione coerente e sincronizzata del sistema neuromotorio: il '''potenziale evocato motorio trigeminale (PEMT)'''. In questa fase il sistema perde la sua indeterminazione, e la risposta neurofisiologica diviene un '''osservabile oggettivo''', dotato di latenza, ampiezza e simmetria misurabili.
 Il PEMT costituisce pertanto il “'''fattore di normalizzazione'''” del modello: un punto di riferimento che definisce lo stato funzionale puro del soggetto. Ogni successiva misura può essere confrontata rispetto a questo vettore di riferimento, così da determinare deviazioni di coerenza o alterazioni di fase.
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 Dal punto di vista operativo, il collasso del sistema e la successiva osservazione dell’output evocato consentono di costruire una '''funzione normalizzante''' <math>F</math>:
 <math>
-F \;=\; N\!\big( \lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\; \Delta t,\; \Delta A \big)
+F \;=\; N\!\left( \, |\psi_{\mathrm{evoked}}| \,,\, \Delta t \,,\, \Delta A \, \right)
 </math>
 dove:
-* <math>\lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert</math> rappresenta il modulo dell’ampiezza del potenziale evocato,
+* <math>|\psi_{\mathrm{evoked}}|</math> rappresenta il modulo dell’ampiezza del potenziale evocato,
 * <math>\Delta t</math> la latenza media di risposta,
 * <math>\Delta A</math> l’asimmetria funzionale tra i due lati del sistema.
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 La funzione <math>F</math> restituisce un valore adimensionale, compreso tra 0 e 1, definito come '''Indice Neuro-Gnatologico Funzionale''' (<math>I_{NG}</math>):
 <math>
-I_{NG} \;=\; F\!\big( \lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\; \Delta t,\; \Delta A \big)
+I_{NG} \;=\; F\!\left( \, |\psi_{\mathrm{evoked}}| \,,\, \Delta t \,,\, \Delta A \, \right)
 </math>
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 * <math>I_{NG} < 1</math> → riduzione di coerenza o asimmetria funzionale (disfunzione o danno).
-L’Indice rappresenta quindi una misura '''oggettiva''' dello stato funzionale trigeminale, con valore diagnostico ma non assoluto: esso descrive solo lo stato puro osservato in seguito al collasso, non l’intero spettro potenziale di stati patologici latenti.
+L’Indice rappresenta quindi una misura '''oggettiva''' dello stato funzionale trigeminale, con valore diagnostico ma non assoluto: descrive lo stato puro osservato in seguito al collasso, non l’intero spettro potenziale di stati patologici latenti.
 === 2.3 Limiti epistemici del modello classico ===
 Nel modello statistico tradizionale, le variabili osservate (latenza, ampiezza, simmetria) sono trattate come '''commutative''', ovvero:
 <math>
-\hat{A}\hat{B} \;=\; \hat{B}\hat{A}
+\hat{A}\,\hat{B} \;=\; \hat{B}\,\hat{A}
 </math>
 e l’ordine di osservazione non altera il risultato. Questo comporta l’assunzione che la realtà neurofisiologica sia stazionaria e deterministica, generando una falsa percezione di oggettività e un’elevata incidenza di falsi positivi (stati apparentemente normali che nascondono incoerenze non osservabili).
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 === 2.4 Stato puro e spazio di Hilbert neurofisiologico ===
-Lo stato puro <math>\lvert \psi \rangle</math> derivante dal collasso viene rappresentato in uno '''spazio di Hilbert bidimensionale''':
+Lo stato puro <math>|\psi\rangle</math> derivante dal collasso viene rappresentato in uno '''spazio di Hilbert bidimensionale''':
 <math>
-\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\{\, \lvert S\rangle,\; \lvert D\rangle \,\}
+\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\!\left\{\, |S\rangle \;,\; |D\rangle \,\right\}
 </math>
 dove:
-* <math>\lvert S\rangle</math> indica lo stato di salute (funzionalità coerente),
+* <math>|S\rangle</math> indica lo stato di salute (funzionalità coerente),
-* <math>\lvert D\rangle</math> indica lo stato patologico (disfunzione o danno).
+* <math>|D\rangle</math> indica lo stato patologico (disfunzione o danno).
 Ogni sistema neurofisiologico reale può essere espresso come combinazione lineare:
 <math>
-\lvert \psi \rangle \;=\; \alpha \lvert S\rangle + \beta \lvert D\rangle,
+|\psi\rangle \;=\; \alpha\,|S\rangle + \beta\,|D\rangle \,,\qquad
-\quad
+|\alpha|^2 + |\beta|^2 \;=\; 1
-\lvert \alpha \rvert^2 + \lvert \beta \rvert^2 = 1
 </math>
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 In tal senso, la probabilità non è più frequenza bayesiana, ma '''ampiezza di propensione''' (Born, 1926):
 <math>
-P \;=\; \lvert \langle \phi \lvert \psi \rangle \rvert^2
+P \;=\; \big| \langle \phi \,|\, \psi \rangle \big|^{2}
 </math>
-dove <math>\lvert \phi \rangle</math> è lo stato osservato (misura).
+dove <math>|\phi\rangle</math> è lo stato osservato (misura).
 Il modello sostituisce quindi la significatività classica (''p < 0{,}05'') con una '''significatività quantistica''' del 50%, corrispondente alla condizione di sovrapposizione massima e neutralità epistemica del sistema:
 <math>
-\lvert \alpha \rvert^2 \;=\; \lvert \beta \rvert^2 \;=\; 0.5
+|\alpha|^{2} \;=\; |\beta|^{2} \;=\; 0.5
 </math>
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 == 3. Indice neuro-gnatologico funzionale e modello diagnostico a variabili non commutative ==
-L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale (<math>I_{NG}</math>) costituisce la '''proiezione osservabile della coerenza neuro-muscolare trigeminale''' all’interno del quadro teorico quantistico-like. Mentre nel paragrafo precedente esso è stato definito come funzione empirica <math>F(\lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\Delta t,\Delta A)</math>, qui se ne propone la '''formalizzazione operatoriale''', che consente di descrivere la dinamica diagnostica in termini di misura non commutativa.
+L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale (<math>I_{NG}</math>) costituisce la '''proiezione osservabile della coerenza neuro-muscolare trigeminale''' all’interno del quadro teorico quantistico-like. Mentre nel paragrafo precedente esso è stato definito come funzione empirica <math>F(|\psi_{\mathrm{evoked}}|,\Delta t,\Delta A)</math>, qui se ne propone la '''formalizzazione operatoriale''', che consente di descrivere la dinamica diagnostica in termini di misura non commutativa.
 === 3.1 Lo spazio di Hilbert diagnostico ===
-Si consideri uno spazio di Hilbert complesso finito-dimensionale:
 <math>
-\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\{\, \lvert S\rangle,\; \lvert D\rangle \,\}
+\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\!\left\{\, |S\rangle \;,\; |D\rangle \,\right\}
 </math>
-dove:
+dove <math>|S\rangle</math> è lo stato funzionale sano (coerenza bilaterale) e <math>|D\rangle</math> lo stato patologico o disfunzionale.
-* <math>\lvert S\rangle</math> rappresenta lo stato funzionale sano (coerenza bilaterale);
-* <math>\lvert D\rangle</math> rappresenta lo stato patologico o disfunzionale.
-Ogni configurazione neurofisiologica individuale è descritta dal vettore di stato:
+Ogni configurazione neurofisiologica individuale:
 <math>
-\lvert \psi \rangle \;=\; \alpha \lvert S\rangle + \beta \lvert D\rangle,
+|\psi\rangle \;=\; \alpha\,|S\rangle + \beta\,|D\rangle \,,\qquad
-\quad
+|\alpha|^2 + |\beta|^2 \;=\; 1
-\lvert \alpha \rvert^2 + \lvert \beta \rvert^2 = 1
 </math>
-L’osservabile diagnostico <math>\hat{O}</math> è un '''operatore ermitiano''' che agisce su <math>\mathcal{H}</math> e codifica le proprietà misurabili (latenza, ampiezza, simmetria). Gli autovalori di <math>\hat{O}</math>, <math>o_S</math> e <math>o_D</math>, corrispondono rispettivamente ai valori caratteristici degli stati <math>\lvert S\rangle</math> e <math>\lvert D\rangle</math>.
+L’osservabile diagnostico <math>\hat{O}</math> è un '''operatore ermitiano''' su <math>\mathcal{H}</math> che codifica le proprietà misurabili (latenza, ampiezza, simmetria) con autovalori <math>o_S</math> e <math>o_D</math>.
 === 3.2 Operatori di misura e non-commutatività ===
-Si definiscano due operatori di misura principali:
+Definiamo due operatori di misura:
-* <math>\hat{A}</math>: operatore di '''latenza''' (tempo di risposta neuromotoria);
+* <math>\hat{A}</math>: '''latenza''' (tempo di risposta neuromotoria);
-* <math>\hat{B}</math>: operatore di '''simmetria''' (bilateralità EMG/EEG).
+* <math>\hat{B}</math>: '''simmetria''' (bilateralità EMG/EEG).
-Nel dominio classico vale <math>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}</math>: l’ordine delle osservazioni non altera il risultato. Nel sistema neurofisiologico reale, invece, la misura di una grandezza (es. simmetria) modifica lo stato su cui agisce la seconda (latenza), rendendo:
+Nel dominio classico <math>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}</math>. Nel sistema reale:
 <math>
 [\hat{A},\hat{B}] \;=\; \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;\neq\; 0
 </math>
+quindi il valore di <math>I_{NG}</math> dipende dal '''percorso di misura'''.
-Questo implica che il valore dell’Indice <math>I_{NG}</math> dipende dal '''percorso di misura''', analogamente al principio di indeterminazione di Heisenberg:
 <math>
-\Delta A \,\Delta B \;\ge\; \tfrac{1}{2}\,\big\lvert \langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle \big\rvert
+\Delta A \,\Delta B \;\ge\; \frac{1}{2}\,\left|\, \langle \, [\hat{A},\hat{B}] \, \rangle \right|
 </math>
-Nel contesto neuro-gnatologico, l’incertezza tra latenza e simmetria riflette la '''non stazionarietà funzionale''' del sistema.
 === 3.3 Definizione formale dell’Indice <math>I_{NG}</math> ===
-Siano <math>P_S=\lvert S\rangle\langle S\rvert</math> e <math>P_D=\lvert D\rangle\langle D\rvert</math> i proiettori sugli stati puri. Le probabilità di osservare gli stati funzionali sono:
+Proiettori sugli stati puri: <math>P_S=|S\rangle\langle S|</math>, <math>P_D=|D\rangle\langle D|</math>.
+Probabilità osservate:
 <math>
-P(S) \;=\; \mathrm{Tr}(P_S \rho),
+P(S) \;=\; \operatorname{Tr}(P_S \rho) \,,\qquad
-\qquad
+P(D) \;=\; \operatorname{Tr}(P_D \rho)
-P(D) \;=\; \mathrm{Tr}(P_D \rho)
 </math>
 con <math>\rho</math> densità di stato post-misura.
-Definiamo l’Indice Neuro-Gnatologico come:
+Indice:
 <math>
 I_{NG} \;=\; P(S) - P(D)
 </math>
+Interpretazione: <math>I_{NG}=1</math> sano; <math>I_{NG}=-1</math> disfunzionale; <math>I_{NG}=0</math> sovrapposizione massima (neutralità epistemica).
-Quindi:
+L’osservazione trans-craniale funge da '''proiezione''' <math>\hat{M}=P_S+P_D</math>. Una misura successiva non commutante con <math>\hat{M}</math> genera uno '''shift diagnostico''' <math>\Delta I_{NG}</math>.
-* <math>I_{NG}=1</math> → stato pienamente coerente (sano),
-* <math>I_{NG}=-1</math> → stato completamente disfunzionale,
-* <math>I_{NG}=0</math> → sovrapposizione massima (neutralità epistemica, indecidibilità clinica).
-L’osservazione trans-craniale (stimolo) agisce come '''operatore di proiezione''' <math>\hat{M}=P_S+P_D</math>, che collassa lo stato misto <math>\rho</math> nel subspazio osservabile. La misura successiva di ampiezza o latenza, non commutando con <math>\hat{M}</math>, genera uno '''shift diagnostico''' <math>\Delta I_{NG}</math>, interpretabile come variazione funzionale indotta dal contesto.
 === 3.4 Il modello diagnostico non-commutativo ===
-L’evoluzione del sistema durante la procedura diagnostica può essere rappresentata da:
+Sequenza di misure (latenza → simmetria):
 <math>
-\rho' \;=\; \frac{\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^\dagger \hat{B}^\dagger}{\mathrm{Tr}\!\big(\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^\dagger \hat{B}^\dagger\big)}
+\rho' \;=\; \frac{\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}}
-\</math>
+{\operatorname{Tr}\!\left(\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}\right)}
-dove <math>\rho'</math> è lo stato successivo alla doppia misura ordinata (latenza → simmetria). Se si inverte l’ordine (simmetria → latenza), si ottiene uno stato generalmente non equivalente:
+</math>
+Sequenza invertita (simmetria → latenza):
 <math>
-\tilde{\rho}' \;=\; \frac{\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger}{\mathrm{Tr}\!\big(\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger\big)}
+\tilde{\rho}' \;=\; \frac{\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}}
+{\operatorname{Tr}\!\left(\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}\right)}
 </math>
+Differenza funzionale (non-commutatività clinica):
-La '''differenza funzionale''' tra le due configurazioni è la misura della non-commutatività clinica:
 <math>
-\Delta N_C \;=\; \mathrm{Tr}\!\big(\,\lvert \rho' - \tilde{\rho}' \rvert\,\big)
+\Delta N_C \;=\; \operatorname{Tr}\!\left( \, \left| \rho' - \tilde{\rho}' \right| \, \right)
 </math>
+Correzione dinamica:
-L’Indice può quindi essere corretto dinamicamente come:
 <math>
 I^{\mathrm{corr}}_{NG} \;=\; I_{NG} \;-\; \lambda\,\Delta N_C
 </math>
-dove <math>\lambda</math> è un coefficiente di sensibilità empirica. Questo termine quantifica l’asimmetria informazionale introdotta dal processo di osservazione e riduce il rischio di falsi positivi: un sistema apparentemente sano ma altamente non-commutativo (grande <math>\Delta N_C</math>) verrà classificato come instabile o pre-patologico.
+con <math>\lambda</math> coefficiente di sensibilità empirica.
 === 3.5 Interpretazione geometrica in spazio di Hilbert ===
-Rappresentando gli stati neurofisiologici come vettori su una '''sfera di Bloch''', l’angolo <math>\theta</math> fra <math>\lvert S\rangle</math> e <math>\lvert D\rangle</math> definisce la coerenza funzionale:
+Sfera di Bloch: angolo <math>\theta</math> fra <math>|S\rangle</math> e <math>|D\rangle</math>:
 <math>
 I_{NG} \;=\; \cos(\theta)
 </math>
 * <math>\theta \approx 0</math> → perfetta coerenza (sano)
 * <math>\theta \approx \pi</math> → disfunzione totale
-* <math>\theta \approx \tfrac{\pi}{2}</math> → stato critico o di incertezza
+* <math>\theta \approx \pi/2</math> → stato critico/indecidibile
-La misura non-commutativa induce una '''rotazione del vettore di stato''' sulla sfera diagnostica, interpretata come transizione dinamica fra equilibrio fisiologico e perturbazione funzionale.
+La misura non-commutativa induce una '''rotazione del vettore di stato''' sulla sfera diagnostica (transizione tra equilibrio fisiologico e perturbazione funzionale).
 === 3.6 Implicazioni diagnostiche e predittive ===
-L’introduzione della non-commutatività trasforma la diagnosi in un '''processo dinamico''', in cui ogni misura modifica l’equilibrio informazionale del sistema. In termini clinici, questo consente di:
+* Rilevazione di '''stati pre-patologici''' ( <math>\Delta N_C</math> alto ma <math>I_{NG}\approx 1</math> );
-* rilevare '''stati pre-patologici''' ( <math>\Delta N_C</math> alto ma <math>I_{NG} \approx 1</math> );
+* Discriminazione di '''falsi positivi''' del modello classico;
-* discriminare '''falsi positivi''' del modello classico (assenza di anomalia statistica ma instabilità operatoriale);
+* '''Previsioni probabilistiche''' sull’evoluzione mediante traiettoria del vettore di stato nel tempo.
-* formulare '''previsioni probabilistiche''' sull’evoluzione del disturbo, attraverso la traiettoria del vettore di stato nel tempo.
 === 3.7 Sintesi ===
-L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale diviene dunque un '''operatore di misura vettoriale''', la cui dinamica è governata dalla '''struttura non-commutativa''' delle osservazioni neurofisiologiche. Il suo valore numerico non rappresenta più un parametro statico, ma l’istantanea coerente di un sistema complesso in continua riorganizzazione.
+L’<math>I_{NG}</math> è un '''operatore di misura vettoriale''' governato dalla '''non-commutatività''' delle osservazioni neurofisiologiche: il suo valore è l’istantanea coerente di un sistema complesso in continua riorganizzazione.