Modifica di Logica di Sistema (sezione)

====Il formalismo matematico della "Teoria dei sistemi"====
La "teoria dei sistemi" studia i sistemi orientati, in cui diventa possibile classificare le grandezze di interesse in due categorie:

* grandezze che variano nel tempo indipendentemente dalle altre (ingressi) 
* grandezze la cui evoluzione nel tempo è da studiare, in funzione degli input, detti output.

Un sistema reale può avere più ingressi e più uscite. In particolare indichiamo con: 

* <math>u(t)= (u_1(t),..., u_r(t))</math> il vettore degli input alla volta <math>{t}</math> 
* <math>y(t)= (y_1(t),..., u_m(t))</math>il vettore dell'output alla volta <math>{t}</math> 

Viene anche generalmente definito come il vettore di stato del sistema in un istante generico <math>\tilde{t}</math> le informazioni all'istante <math>\tilde{t}</math> necessario per determinare in modo univoco l'output <math>y(t)</math>per ciascun <math>t\geq{\displaystyle {\tilde {t}}}</math> una volta assegnato l'ingresso<math>u(t), </math><math>t\geq{\displaystyle {\tilde {t}}}</math>. 

Indichiamo il vettore di stato, le cui componenti sono definite come variabili di stato, con la notazione <math>x(t)= (x_1(t),..., x_n(t))</math>.

Gli ingressi agiscono sullo stato del sistema e ne modificano le caratteristiche in un dato momento; questi cambiamenti sono registrati dalle variabili di stato. I valori degli output del sistema, solitamente le uniche variabili misurabili, dipendono a loro volta dalle variabili di stato del sistema e dagli input. 

Le grandezze di ingresso, di stato e di uscita sono funzioni della variabile tempo. 

Questo accetta valori in un sottoinsieme ordinato <math>T \subseteq \R</math>, che può essere continuo o discreto. Nella discussione seguente considereremo un sottoinsieme discreto di tempi: <math>T = \{t_0,..., t_s\}</math>

Pertanto, dato un insieme di volte <math>T = \{t_0,..., t_s\}</math>, possiamo definire formalmente un sistema come la coppia di equazioni 

<math>x(t_{k+1})=f\bigl(x(t_k), u(t_k), t_k\bigr)
</math>

<math>y(t_k)=g\bigl(x(t_k), u(t_k), t_k\bigr)
</math>

con <math>x(t_0)=x_0
</math>, dove <math>f
</math> è chiamata funzione generatrice e <math>g
</math> è chiamata trasformazione dello output. 

Nel campo dei biosegnali, i modelli <math>g</math> vengono utilizzati per analizzare EEG e sistemi di vibrazione nei veicoli, sistemi uditivi umani e sistemi vascolari e così via. Mentre molto è ancora sconosciuto sul meccanismo fisiologico o sul modello dei cambiamenti interni nel sistema testato, la funzione di trasferimento o trasformazione dell'uscita <math>g</math> nel nostro contesto ci consente di ricostruire una funzione d'onda interpolando i punti rilevati dallo strumento che ha la sua particolare frequenza campionamento. Questa funzione <math>g</math> , per i nostri scopi, è una ricostruzione di una funzione d'onda su cui ricercare latenze, ampiezze e aree integrali e trarre le dovute conclusioni<ref>Haebeom Lee, Hyunho Kim, Jungkuk Kim, Hwan-Sup Oh, Young-Jae Park and Young-Bae Park. [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5299648/ Feasibility study of transfer function model on electrocardiogram change caused by acupuncture.] BMC Complement Altern Med. 2017; 17: 101. Published online 2017 Feb 8. doi: 10.1186/s12906-017-1615-5</ref><ref>Golnoosh Kamali, Rachel June Smith, Mark Hays, Christopher Coogan, Nathan E. Crone, Joon Y. Kang, and Sridevi V. Sarma. [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7758451/ Transfer Function Models for the Localization of Seizure Onset Zone From Cortico-Cortical Evoked Potentials.] Front Neurol. 2020; 11: 579961. Published online 2020 Dec 10. doi: 10.3389/fneur.2020.579961</ref> e, ovviamente, ritestando il sistema in epoche successive, l'integrità del sistema stesso può essere confrontato. In campo ingegneristico sono possibili varie modellazioni matematiche di un sistema, a seconda che si considerino o meno esplicitamente le variabili di stato.

[[File:Finite Elements - electric field within the intracranial brain tissue - FEM.jpg|thumb|center|Figura 5: A. Posizionamento degli elettrodi per l'erogazione dello stimolo elettrico. B. Rappresentazione del campo elettrico all'interno della struttura cerebrale. C. Localizzazione del campo elettrico indotto a livello delle radici del trigemino ]]