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== 4. Formalismo matematico e costruzione sperimentale ==
Il modello ''Evoked Neuro-Gnathology'' assume che il sistema neuro-motorio trigeminale costituisca un sistema dinamico quantistico-like aperto, in cui l’informazione neuroelettrica si evolve secondo leggi di coerenza e decoerenza analoghe a quelle della meccanica quantistica dei sistemi mesoscopici. La diagnosi viene così interpretata come atto di misura contestuale, capace di modificare lo stato stesso del sistema osservato.

=== 4.1 Equazione di evoluzione dello stato neurofisiologico ===
Lo stato neurofisiologico del soggetto è rappresentato da una matrice di densità <math>\rho(t)</math>, la cui evoluzione temporale segue un’equazione del tipo von Neumann–Liouville generalizzata:
<math>
\frac{d\rho}{dt} \;=\; -\,\frac{i}{\hbar_{\mathrm{eff}}}\,[\,\hat{H},\,\rho\,] \;+\; \mathcal{L}[\rho]
</math>
dove:
* <math>\hat{H}</math> è l’''Hamiltoniano funzionale'' che descrive la dinamica interna del sistema (coerenza neuro-muscolare, connessioni cortico-bulbari);
* <math>\hbar_{\mathrm{eff}}</math> è una costante di scala empirica (''quantum of neuro-information'');
* <math>\mathcal{L}[\rho]</math> è il termine dissipativo di decoerenza (rumore fisiologico, interferenze corticali, perturbazioni esterne).

La soluzione formale è data da:
<math>
\rho(t) \;=\; e^{-\,i \hat{H} t / \hbar_{\mathrm{eff}}}\, \rho(0)\, e^{\,i \hat{H} t / \hbar_{\mathrm{eff}}}
\;+\;
\int_{0}^{t} e^{-\,i \hat{H} (t-\tau) / \hbar_{\mathrm{eff}}}\, \mathcal{L}[\rho(\tau)]\, e^{\,i \hat{H} (t-\tau) / \hbar_{\mathrm{eff}}}\, d\tau
</math>

Questo formalismo consente di rappresentare l’evoluzione temporale del segnale EMG/EEG come ''propagatore di coerenza neurofunzionale'', anziché come semplice sequenza di valori temporali.

=== 4.2 Hamiltoniano funzionale e osservabili sperimentali ===
Si definisce l’Hamiltoniano funzionale come:
<math>\hat{H} \;=\; \hat{K} \;+\; \hat{V}</math>

dove:
* <math>\hat{K}</math> (termine cinetico) rappresenta la propagazione dei potenziali lungo le fibre nervose efferenti;
* <math>\hat{V}</math> (termine potenziale) rappresenta le interazioni interne tra centri corticali, nuclei motori e feed-back sensoriale.

In analogia con la meccanica quantistica:
<math>
\hat{K} \;=\; -\,\frac{\hbar_{\mathrm{eff}}^{2}}{2\,m_{\mathrm{eff}}}\,\nabla^{2}
</math>
dove <math>m_{\mathrm{eff}}</math> è una ''massa neurofunzionale effettiva'' (inerzia informazionale del sistema). Le componenti EMG ed EEG si comportano quindi come funzioni d’onda <math>\psi(x,t)</math> che rappresentano la distribuzione di probabilità degli stati di attivazione neuronale.

La misura sperimentale (stimolazione TMS e registrazione PEMT) fornisce le componenti osservabili:
<math>
\hat{O}_i \;=\; \{\, \hat{A}\ \text{(latenza)},\ \hat{B}\ \text{(ampiezza)},\ \hat{C}\ \text{(simmetria)} \,\}
</math>
ognuna associata a un operatore ermitiano distinto, il cui valore medio è:
<math>
\langle O_i \rangle \;=\; \operatorname{Tr}\!\left( \rho\, \hat{O}_i \right)
</math>

=== 4.3 Processo di misura e collasso diagnostico ===
Nel momento in cui viene applicata la stimolazione trans-craniale si realizza una misura proiettiva sullo stato neurofisiologico:
<math>
\rho \;\longrightarrow\; \rho_k \;=\; \frac{P_k\, \rho\, P_k}{\operatorname{Tr}(P_k\,\rho\,P_k)}
</math>
dove <math>P_k</math> è il proiettore sull’autostato osservato (ad es. stato puro coerente trigeminale). L’atto di misura non è passivo ma costitutivo: modifica la configurazione neuro-funzionale generando un nuovo stato coerente osservabile (PEMT).

La ripetizione seriale della misura (stimolazioni multiple) consente di ricostruire una mappa dinamica di collassi:
<math>\{\, \rho_1,\ \rho_2,\ \ldots,\ \rho_n \,\}</math>
le cui traiettorie temporali definiscono l’evoluzione della coerenza neuro-gnatologica nel tempo.

=== 4.4 Rappresentazione sperimentale – EMG ed EEG come operatori di campo ===
Nel dominio sperimentale, il segnale EMG/EEG è trattato come proiezione locale del vettore di stato su un asse osservabile. Per ogni punto di misura <math>x</math> (elettrodo o muscolo), il valore istantaneo del potenziale è:
<math>
\psi(x,t) \;=\; \langle x \,|\, \psi(t) \rangle
</math>
e la coerenza spaziale è data da:
<math>
C(x_1,x_2,t) \;=\; \psi^{*}(x_1,t)\, \psi(x_2,t)
</math>

La perdita di coerenza interemisferica (es. massetere destro vs sinistro) rappresenta una riduzione della densità di probabilità congiunta:
<math>
\rho_{LR}(t) \;=\; |\,\psi_{R}(t)\,\rangle \langle\, \psi_{L}(t)\,|
</math>
e costituisce un osservabile diagnostico di disequilibrio funzionale.

=== 4.5 Validazione e proof-of-concept ===
La fase sperimentale prevede:
* Stimolazione elettrica o magnetica trans-craniale in area motoria trigeminale;
* Registrazione EMG bilaterale e EEG sincronico ad alta risoluzione (≥ 10 kHz);
* Analisi di Fourier e coerenza di fase per derivare la matrice di correlazione complessa <math>C_{ij}(\omega)</math>;
* Ricostruzione degli operatori <math>\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}</math> a partire dalla correlazione temporale non-commutativa:
<math>
[\,\hat{A},\,\hat{B}\,] \;=\; i\,\hbar_{\mathrm{eff}}\, \hat{C}
</math>

Questo consente di stimare sperimentalmente la costante quantistica effettiva <math>\hbar_{\mathrm{eff}}</math> del sistema orofacciale e di verificare se la relazione d’incertezza tra latenza e simmetria segue un comportamento compatibile con una struttura post-commutativa.

=== 4.6 Implicazioni operative per il modello diagnostico ===
L’insieme delle osservazioni seriali produce un campo di stati <math>\rho(t)</math> mappabile in uno spazio di Hilbert tridimensionale (latenza, ampiezza, simmetria).  
La traiettoria del vettore di stato nel tempo costituisce il profilo dinamico funzionale del soggetto.  
L’Indice <math>I_{NG}</math> diviene funzione della traiettoria stessa, <math>I_{NG}(t) = f(\rho(t))</math>, fornendo una diagnosi evolutiva e non statica.  
In questa prospettiva, la diagnosi non è più un atto puntuale ma un processo di evoluzione osservativa, in cui normalità e patologia emergono come stati coerenti localizzati in un campo dinamico complesso.

=== 4.7 Conclusione del modello matematico ===
L’architettura teorico-sperimentale definisce un nuovo paradigma diagnostico quantistico-like, in cui:
* gli stati neurofisiologici sono rappresentati come vettori in spazio di Hilbert;
* le misure cliniche corrispondono a operatori non commutativi;
* salute e malattia non sono categorie discrete, ma stati di sovrapposizione coerente;
* la diagnosi è un processo di collasso epistemico indotto dalla misura.

Tale formalismo fornisce un linguaggio unificato per descrivere fenomeni neuro-funzionali complessi e offre un quadro matematico per costruire il futuro '''Indice Neuro-Gnatologico Quantistico (Q-I_{NG})''', validabile con protocolli TMS–EMG–EEG in ambiente controllato.

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