Modifica di Logica di linguaggio fuzzy (sezione)

==Insiemistica==
Come accennato nel capitolo precedente, il concetto base della logica fuzzy è quello di multivalenza, ovvero, in termini di teoria degli insiemi, della possibilità che un oggetto possa appartenere ad un insieme anche parzialmente e, quindi, anche a più insiemi con gradi differenti . Ricordiamo fin dall'inizio gli elementi di base della teoria degli insiemi ordinari. Come si vedrà, in essi compaiono le espressioni formali dei principi della logica aristotelica, richiamati nel capitolo precedente.
===Quantificatori===

*Appartenenza: rappresentata dal simbolo <math>\in </math> (appartiene), - ad esempio il numero 13 appartiene all'insieme dei numeri dispari <math>\in </math> <math>13\in  Odd </math>
*Non appartenenza: rappresentato dal simbolo <math>\notin </math> (non appartiene)
*Inclusione: Rappresentata dal simbolo <math>\subset</math> (è contenuto), - ad esempio l'intero <math>A</math> è contenuto all'interno dell'insieme più grande <math>U</math>, <math>A \subset U</math> (in questo caso si dice che <math>A</math> è un sottoinsieme di <math>U</math>
*Quantificatore universale, indicato dal simbolo <math>\forall</math> (per ciascuno)
*Dimostrazione, che è indicata dal simbolo <math>\mid</math> (tale che)

===Impostare gli operatori===

Dato l'intero universo <math>U</math> indichiamo con <math>x</math> il suo elemento generico in modo che <math>x \in U</math>; quindi, consideriamo due sottoinsiemi <math>A</math> e <math>B</math> interni a <math>U</math> in modo che <math>A \subset U</math> e <math>B \subset U</math>
{|
|[[File:Venn0111.svg|left|80px]]
|'''Unione:''' represento dal simbolo <math>\cup</math>, indica l'unione dei due sets <math>A</math> e <math>B</math> <math>(A\cup B)</math>. È definito da tutti gli elementi che ne fanno parte

<math>A</math> e <math>B</math> o entrambi:

<math>(A\cup B)=\{\forall x\in U \mid x\in A \land x\in B\}</math>
|-
|[[File:Venn0001.svg|sinistra|80px]]
|'''Intersezione:''' representata dal simbolo <math>\cap</math>, indica gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi:

<math>(A\cap B)=\{\forall x\in U \mid x\in A \lor x\in B\}</math>
|-
|[[File:Venn0010.svg|left|80px]]
|'''Differenza:''' representata dal simbolo <math>-</math>, per esempio <math>A-B</math> mostra tutti gli elementi di <math>A</math> tranne quelli condivisi con <math>B</math>
|-
|[[File:Venn1000.svg|left|80px]]
|'''Complementarità:''' rappresentato da una barra sopra il nome della collezione, indicata da <math>\bar{A}</math> la complementarità of <math>A</math>, cioè l'insieme degli elementi che appartengono all'intero universo tranne quelli di <math>A</math>, nelle formule: <math>\bar{A}=U-A</math><br />
|}

La teoria della logica del linguaggio fuzzy è un'estensione della teoria classica degli insiemi in cui, tuttavia, i principi di non contraddizione e il terzo escluso non sono validi. Ricordiamo che nella logica classica, dato l'insieme <math>A</math> e il suo complementare <math>\bar{A}</math>, il principio di non contraddizione afferma che se un elemento appartiene all'intero <math>A</math> non può contemporaneamente appartenere anche al suo complementare <math>\bar{A}</math>; secondo il principio del terzo escluso, invece, l'unione di un tutto <math>A</math> e del suo complementare <math>\bar{A}</math> costituisce l'universo completo <math>U</math>

In altre parole, se un elemento non appartiene al tutto, deve necessariamente appartenere al suo complementare.