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== 3. Indice neuro-gnatologico funzionale e modello diagnostico a variabili non commutative ==
L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale (<math>I_{NG}</math>) costituisce la '''proiezione osservabile della coerenza neuro-muscolare trigeminale''' all’interno del quadro teorico quantistico-like. Mentre nel paragrafo precedente esso è stato definito come funzione empirica <math>F(|\psi_{\mathrm{evoked}}|,\Delta t,\Delta A)</math>, qui se ne propone la '''formalizzazione operatoriale''', che consente di descrivere la dinamica diagnostica in termini di misura non commutativa.

=== 3.1 Lo spazio di Hilbert diagnostico ===
<math>
\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\!\left\{\, |S\rangle \;,\; |D\rangle \,\right\}
</math>
dove <math>|S\rangle</math> è lo stato funzionale sano (coerenza bilaterale) e <math>|D\rangle</math> lo stato patologico o disfunzionale.  

Ogni configurazione neurofisiologica individuale:
<math>
|\psi\rangle \;=\; \alpha\,|S\rangle + \beta\,|D\rangle \,,\qquad
|\alpha|^2 + |\beta|^2 \;=\; 1
</math>

L’osservabile diagnostico <math>\hat{O}</math> è un '''operatore ermitiano''' su <math>\mathcal{H}</math> che codifica le proprietà misurabili (latenza, ampiezza, simmetria) con autovalori <math>o_S</math> e <math>o_D</math>.

=== 3.2 Operatori di misura e non-commutatività ===
Definiamo due operatori di misura:
* <math>\hat{A}</math>: '''latenza''' (tempo di risposta neuromotoria);
* <math>\hat{B}</math>: '''simmetria''' (bilateralità EMG/EEG).

Nel dominio classico <math>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}</math>. Nel sistema reale:
<math>
[\hat{A},\hat{B}] \;=\; \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;\neq\; 0
</math>
quindi il valore di <math>I_{NG}</math> dipende dal '''percorso di misura'''.
<math>
\Delta A \,\Delta B \;\ge\; \frac{1}{2}\,\left|\, \langle \, [\hat{A},\hat{B}] \, \rangle \right|
</math>

=== 3.3 Definizione formale dell’Indice <math>I_{NG}</math> ===
Proiettori sugli stati puri: <math>P_S=|S\rangle\langle S|</math>, <math>P_D=|D\rangle\langle D|</math>.  
Probabilità osservate:
<math>
P(S) \;=\; \operatorname{Tr}(P_S \rho) \,,\qquad
P(D) \;=\; \operatorname{Tr}(P_D \rho)
</math>
con <math>\rho</math> densità di stato post-misura.  

Indice:
<math>
I_{NG} \;=\; P(S) - P(D)
</math>
Interpretazione: <math>I_{NG}=1</math> sano; <math>I_{NG}=-1</math> disfunzionale; <math>I_{NG}=0</math> sovrapposizione massima (neutralità epistemica).

L’osservazione trans-craniale funge da '''proiezione''' <math>\hat{M}=P_S+P_D</math>. Una misura successiva non commutante con <math>\hat{M}</math> genera uno '''shift diagnostico''' <math>\Delta I_{NG}</math>.

=== 3.4 Il modello diagnostico non-commutativo ===
Sequenza di misure (latenza → simmetria):
<math>
\rho' \;=\; \frac{\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}}
{\operatorname{Tr}\!\left(\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger}\right)}
</math>
Sequenza invertita (simmetria → latenza):
<math>
\tilde{\rho}' \;=\; \frac{\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}}
{\operatorname{Tr}\!\left(\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}\right)}
</math>
Differenza funzionale (non-commutatività clinica):
<math>
\Delta N_C \;=\; \operatorname{Tr}\!\left( \, \left| \rho' - \tilde{\rho}' \right| \, \right)
</math>
Correzione dinamica:
<math>
I^{\mathrm{corr}}_{NG} \;=\; I_{NG} \;-\; \lambda\,\Delta N_C
</math>
con <math>\lambda</math> coefficiente di sensibilità empirica.

=== 3.5 Interpretazione geometrica in spazio di Hilbert ===
Sfera di Bloch: angolo <math>\theta</math> fra <math>|S\rangle</math> e <math>|D\rangle</math>:
<math>
I_{NG} \;=\; \cos(\theta)
</math>
* <math>\theta \approx 0</math> → perfetta coerenza (sano)  
* <math>\theta \approx \pi</math> → disfunzione totale  
* <math>\theta \approx \pi/2</math> → stato critico/indecidibile

La misura non-commutativa induce una '''rotazione del vettore di stato''' sulla sfera diagnostica (transizione tra equilibrio fisiologico e perturbazione funzionale).

=== 3.6 Implicazioni diagnostiche e predittive ===
* Rilevazione di '''stati pre-patologici''' ( <math>\Delta N_C</math> alto ma <math>I_{NG}\approx 1</math> );  
* Discriminazione di '''falsi positivi''' del modello classico;  
* '''Previsioni probabilistiche''' sull’evoluzione mediante traiettoria del vettore di stato nel tempo.

=== 3.7 Sintesi ===
L’<math>I_{NG}</math> è un '''operatore di misura vettoriale''' governato dalla '''non-commutatività''' delle osservazioni neurofisiologiche: il suo valore è l’istantanea coerente di un sistema complesso in continua riorganizzazione.