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== 2. Paradigma dell’osservabile neurofisiologico ==
Nel presente modello il sistema neuromotorio trigeminale, e più in generale l’apparato orofacciale, viene trattato come un sistema quantistico-like nel quale gli stati funzionali non sono deterministici, ma descrivibili attraverso '''stati misti''' che incorporano la coesistenza di componenti potenzialmente coerenti e incoerenti.  

L’attività neurofisiologica rilevabile attraverso segnali elettromiografici (EMG) o elettroencefalografici (EEG) non rappresenta quindi un valore osservabile “puro”, ma una '''sovrapposizione di stati funzionali''' del sistema. In termini matematici, essa può essere espressa come stato misto di densità:
<math>
\rho \;=\; \sum_{i} p_i \, \lvert \psi_i \rangle \langle \psi_i \rvert
</math>
dove ogni vettore <math>\lvert \psi_i \rangle</math> rappresenta un microstato neurofunzionale (attività di unità motrici, pattern sinaptici, sincronizzazioni corticali), e <math>p_i</math> la probabilità associata.  

Tale rappresentazione descrive la fluttuazione intrinseca della risposta neurofisiologica, dovuta sia alla variabilità biologica sia alla natura indeterministica dell’interazione cervello–stimolo.

=== 2.1 Collasso e stato puro osservabile ===
La stimolazione elettrica trans-craniale (TMS o tES), applicata in modo mirato all’area motoria trigeminale, funge da '''operatore di misura''' <math>\,\hat{M}\,</math> che agisce sullo stato misto <math>\rho</math> provocandone il collasso in uno stato puro:
<math>
\rho \;\xrightarrow{\ \hat{M}\ }\; \lvert \psi \rangle \langle \psi \rvert
</math>

Lo stato risultante <math>\lvert \psi \rangle</math> rappresenta una configurazione coerente e sincronizzata del sistema neuromotorio: il '''potenziale evocato motorio trigeminale (PEMT)'''. In questa fase il sistema perde la sua indeterminazione, e la risposta neurofisiologica diviene un '''osservabile oggettivo''', dotato di latenza, ampiezza e simmetria misurabili.  

Il PEMT costituisce pertanto il “'''fattore di normalizzazione'''” del modello: un punto di riferimento che definisce lo stato funzionale puro del soggetto. Ogni successiva misura può essere confrontata rispetto a questo vettore di riferimento, così da determinare deviazioni di coerenza o alterazioni di fase.

=== 2.2 Definizione dell’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale ===
Dal punto di vista operativo, il collasso del sistema e la successiva osservazione dell’output evocato consentono di costruire una '''funzione normalizzante''' <math>F</math>:
<math>
F \;=\; N\!\big( \lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\; \Delta t,\; \Delta A \big)
</math>
dove:
* <math>\lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert</math> rappresenta il modulo dell’ampiezza del potenziale evocato,
* <math>\Delta t</math> la latenza media di risposta,
* <math>\Delta A</math> l’asimmetria funzionale tra i due lati del sistema.

La funzione <math>F</math> restituisce un valore adimensionale, compreso tra 0 e 1, definito come '''Indice Neuro-Gnatologico Funzionale''' (<math>I_{NG}</math>):
<math>
I_{NG} \;=\; F\!\big( \lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\; \Delta t,\; \Delta A \big)
</math>

* <math>I_{NG} \approx 1</math> → stato funzionale coerente e simmetrico (sano);  
* <math>I_{NG} < 1</math> → riduzione di coerenza o asimmetria funzionale (disfunzione o danno).

L’Indice rappresenta quindi una misura '''oggettiva''' dello stato funzionale trigeminale, con valore diagnostico ma non assoluto: esso descrive solo lo stato puro osservato in seguito al collasso, non l’intero spettro potenziale di stati patologici latenti.

=== 2.3 Limiti epistemici del modello classico ===
Nel modello statistico tradizionale, le variabili osservate (latenza, ampiezza, simmetria) sono trattate come '''commutative''', ovvero:
<math>
\hat{A}\hat{B} \;=\; \hat{B}\hat{A}
</math>
e l’ordine di osservazione non altera il risultato. Questo comporta l’assunzione che la realtà neurofisiologica sia stazionaria e deterministica, generando una falsa percezione di oggettività e un’elevata incidenza di falsi positivi (stati apparentemente normali che nascondono incoerenze non osservabili).  

Nel paradigma proposto, invece, le misure EMG/EEG e il potenziale evocato sono considerate '''operatori non commutativi''':
<math>
[\hat{A},\hat{B}] \;=\; \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;\neq\; 0
</math>
Il che implica che l’ordine delle osservazioni (stimolo → risposta o risposta → stimolo) modifica la struttura informativa del sistema, rendendo la diagnosi dipendente dal '''contesto di misura''' e non dal solo valore statistico aggregato.

=== 2.4 Stato puro e spazio di Hilbert neurofisiologico ===
Lo stato puro <math>\lvert \psi \rangle</math> derivante dal collasso viene rappresentato in uno '''spazio di Hilbert bidimensionale''':
<math>
\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\{\, \lvert S\rangle,\; \lvert D\rangle \,\}
</math>
dove:
* <math>\lvert S\rangle</math> indica lo stato di salute (funzionalità coerente),
* <math>\lvert D\rangle</math> indica lo stato patologico (disfunzione o danno).

Ogni sistema neurofisiologico reale può essere espresso come combinazione lineare:
<math>
\lvert \psi \rangle \;=\; \alpha \lvert S\rangle + \beta \lvert D\rangle,
\quad
\lvert \alpha \rvert^2 + \lvert \beta \rvert^2 = 1
</math>

L’osservazione (stimolazione) collassa il sistema in uno dei due sottospazi, ma prima del collasso esso è in '''sovrapposizione''' — dunque non esiste un “sano” o “malato” assoluto, ma una propensione probabilistica distribuita nello spazio vettoriale.  

In tal senso, la probabilità non è più frequenza bayesiana, ma '''ampiezza di propensione''' (Born, 1926):
<math>
P \;=\; \lvert \langle \phi \lvert \psi \rangle \rvert^2
</math>
dove <math>\lvert \phi \rangle</math> è lo stato osservato (misura).  

Il modello sostituisce quindi la significatività classica (''p < 0{,}05'') con una '''significatività quantistica''' del 50%, corrispondente alla condizione di sovrapposizione massima e neutralità epistemica del sistema:
<math>
\lvert \alpha \rvert^2 \;=\; \lvert \beta \rvert^2 \;=\; 0.5
</math>

=== 2.5 Implicazioni epistemologiche ===
Questo approccio implica che lo stato “sano” e quello “malato” coesistono simultaneamente fino al momento dell’osservazione; la salute non è più uno stato determinato ma una '''variabile ontologica fluttuante'''. Il modello diagnostico classico, basato su soglie di significatività e relazioni causa-effetto, viene sostituito da una '''logica non-commutativa e contestuale''', nella quale ogni misura modifica la realtà del sistema osservato.  

Ne deriva una '''rivoluzione epistemologica''': la diagnosi non identifica più un valore “vero”, ma una '''proiezione momentanea''' del sistema in una delle sue configurazioni coerenti possibili.

; 🔗 Riferimenti concettuali
* von Neumann, ''Mathematical Foundations of Quantum Mechanics'' (1932).  
* Khrennikov A., ''Contextual Probabilistic Models and Quantum-like Representation'' (2003–2010).  
* Brukner, Zeilinger, ''Information Invariance and Quantum Measurements'' (1999).  
* Bagarello F., ''Quantum Models in Biological Systems'' (2019).  

== 3. Indice neuro-gnatologico funzionale e modello diagnostico a variabili non commutative ==
L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale (<math>I_{NG}</math>) costituisce la '''proiezione osservabile della coerenza neuro-muscolare trigeminale''' all’interno del quadro teorico quantistico-like. Mentre nel paragrafo precedente esso è stato definito come funzione empirica <math>F(\lvert \psi_{\text{evoked}} \rvert,\Delta t,\Delta A)</math>, qui se ne propone la '''formalizzazione operatoriale''', che consente di descrivere la dinamica diagnostica in termini di misura non commutativa.

=== 3.1 Lo spazio di Hilbert diagnostico ===
Si consideri uno spazio di Hilbert complesso finito-dimensionale:
<math>
\mathcal{H} \;=\; \mathrm{span}\{\, \lvert S\rangle,\; \lvert D\rangle \,\}
</math>
dove:
* <math>\lvert S\rangle</math> rappresenta lo stato funzionale sano (coerenza bilaterale);
* <math>\lvert D\rangle</math> rappresenta lo stato patologico o disfunzionale.

Ogni configurazione neurofisiologica individuale è descritta dal vettore di stato:
<math>
\lvert \psi \rangle \;=\; \alpha \lvert S\rangle + \beta \lvert D\rangle,
\quad
\lvert \alpha \rvert^2 + \lvert \beta \rvert^2 = 1
</math>

L’osservabile diagnostico <math>\hat{O}</math> è un '''operatore ermitiano''' che agisce su <math>\mathcal{H}</math> e codifica le proprietà misurabili (latenza, ampiezza, simmetria). Gli autovalori di <math>\hat{O}</math>, <math>o_S</math> e <math>o_D</math>, corrispondono rispettivamente ai valori caratteristici degli stati <math>\lvert S\rangle</math> e <math>\lvert D\rangle</math>.

=== 3.2 Operatori di misura e non-commutatività ===
Si definiscano due operatori di misura principali:
* <math>\hat{A}</math>: operatore di '''latenza''' (tempo di risposta neuromotoria);
* <math>\hat{B}</math>: operatore di '''simmetria''' (bilateralità EMG/EEG).

Nel dominio classico vale <math>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}</math>: l’ordine delle osservazioni non altera il risultato. Nel sistema neurofisiologico reale, invece, la misura di una grandezza (es. simmetria) modifica lo stato su cui agisce la seconda (latenza), rendendo:
<math>
[\hat{A},\hat{B}] \;=\; \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;\neq\; 0
</math>

Questo implica che il valore dell’Indice <math>I_{NG}</math> dipende dal '''percorso di misura''', analogamente al principio di indeterminazione di Heisenberg:
<math>
\Delta A \,\Delta B \;\ge\; \tfrac{1}{2}\,\big\lvert \langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle \big\rvert
</math>
Nel contesto neuro-gnatologico, l’incertezza tra latenza e simmetria riflette la '''non stazionarietà funzionale''' del sistema.

=== 3.3 Definizione formale dell’Indice <math>I_{NG}</math> ===
Siano <math>P_S=\lvert S\rangle\langle S\rvert</math> e <math>P_D=\lvert D\rangle\langle D\rvert</math> i proiettori sugli stati puri. Le probabilità di osservare gli stati funzionali sono:
<math>
P(S) \;=\; \mathrm{Tr}(P_S \rho), 
\qquad
P(D) \;=\; \mathrm{Tr}(P_D \rho)
</math>
con <math>\rho</math> densità di stato post-misura.  

Definiamo l’Indice Neuro-Gnatologico come:
<math>
I_{NG} \;=\; P(S) - P(D)
</math>

Quindi:
* <math>I_{NG}=1</math> → stato pienamente coerente (sano),  
* <math>I_{NG}=-1</math> → stato completamente disfunzionale,  
* <math>I_{NG}=0</math> → sovrapposizione massima (neutralità epistemica, indecidibilità clinica).

L’osservazione trans-craniale (stimolo) agisce come '''operatore di proiezione''' <math>\hat{M}=P_S+P_D</math>, che collassa lo stato misto <math>\rho</math> nel subspazio osservabile. La misura successiva di ampiezza o latenza, non commutando con <math>\hat{M}</math>, genera uno '''shift diagnostico''' <math>\Delta I_{NG}</math>, interpretabile come variazione funzionale indotta dal contesto.

=== 3.4 Il modello diagnostico non-commutativo ===
L’evoluzione del sistema durante la procedura diagnostica può essere rappresentata da:
<math>
\rho' \;=\; \frac{\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^\dagger \hat{B}^\dagger}{\mathrm{Tr}\!\big(\hat{B}\hat{A}\,\rho\,\hat{A}^\dagger \hat{B}^\dagger\big)}
\</math>
dove <math>\rho'</math> è lo stato successivo alla doppia misura ordinata (latenza → simmetria). Se si inverte l’ordine (simmetria → latenza), si ottiene uno stato generalmente non equivalente:
<math>
\tilde{\rho}' \;=\; \frac{\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger}{\mathrm{Tr}\!\big(\hat{A}\hat{B}\,\rho\,\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger\big)}
</math>

La '''differenza funzionale''' tra le due configurazioni è la misura della non-commutatività clinica:
<math>
\Delta N_C \;=\; \mathrm{Tr}\!\big(\,\lvert \rho' - \tilde{\rho}' \rvert\,\big)
</math>

L’Indice può quindi essere corretto dinamicamente come:
<math>
I^{\mathrm{corr}}_{NG} \;=\; I_{NG} \;-\; \lambda\,\Delta N_C
</math>
dove <math>\lambda</math> è un coefficiente di sensibilità empirica. Questo termine quantifica l’asimmetria informazionale introdotta dal processo di osservazione e riduce il rischio di falsi positivi: un sistema apparentemente sano ma altamente non-commutativo (grande <math>\Delta N_C</math>) verrà classificato come instabile o pre-patologico.

=== 3.5 Interpretazione geometrica in spazio di Hilbert ===
Rappresentando gli stati neurofisiologici come vettori su una '''sfera di Bloch''', l’angolo <math>\theta</math> fra <math>\lvert S\rangle</math> e <math>\lvert D\rangle</math> definisce la coerenza funzionale:
<math>
I_{NG} \;=\; \cos(\theta)
</math>

* <math>\theta \approx 0</math> → perfetta coerenza (sano)  
* <math>\theta \approx \pi</math> → disfunzione totale  
* <math>\theta \approx \tfrac{\pi}{2}</math> → stato critico o di incertezza

La misura non-commutativa induce una '''rotazione del vettore di stato''' sulla sfera diagnostica, interpretata come transizione dinamica fra equilibrio fisiologico e perturbazione funzionale.

=== 3.6 Implicazioni diagnostiche e predittive ===
L’introduzione della non-commutatività trasforma la diagnosi in un '''processo dinamico''', in cui ogni misura modifica l’equilibrio informazionale del sistema. In termini clinici, questo consente di:
* rilevare '''stati pre-patologici''' ( <math>\Delta N_C</math> alto ma <math>I_{NG} \approx 1</math> );  
* discriminare '''falsi positivi''' del modello classico (assenza di anomalia statistica ma instabilità operatoriale);  
* formulare '''previsioni probabilistiche''' sull’evoluzione del disturbo, attraverso la traiettoria del vettore di stato nel tempo.

=== 3.7 Sintesi ===
L’Indice Neuro-Gnatologico Funzionale diviene dunque un '''operatore di misura vettoriale''', la cui dinamica è governata dalla '''struttura non-commutativa''' delle osservazioni neurofisiologiche. Il suo valore numerico non rappresenta più un parametro statico, ma l’istantanea coerente di un sistema complesso in continua riorganizzazione.